Seja f(x)=x^3-27 x.
Determine o ponto ou os pontos do gráfico de f em que a reta tangente, neste ponto, seja paralela ao eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os pontos no gráfico da função onde a reta tangente é paralela ao eixo x. Isso envolve derivadas, que fazem parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas de funções.

Passo 2

Primeiro, para encontrar onde a reta tangente é paralela ao eixo x, precisamos saber onde a inclinação dessa reta é zero. A inclinação da reta tangente numa função é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, vamos começar encontrando a derivada de .

Passo 3

A derivada de f'(x) = 3x^2 - 27 em relação a é:
Essa fórmula nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.

Passo 4

Queremos que a reta tangente seja paralela ao eixo x, ou seja, que a inclinação seja zero. Então, vamos igualar a derivada a zero e resolver para 3x^2 - 27 = 0 :

Passo 5

Resolvendo a equação:
3x^2 = 27 x^2 = 9 x = pm 3
Encontramos que e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas f(3) = 3^3 - 27 times 3 = 27 - 81 = -54 correspondentes a esses valores de f(-3) = (-3)^3 - 27 times (-3) = -27 + 81 = 54 substituindo de volta na função original :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Os pontos no gráfico de onde a reta tangente é paralela ao eixo x são e .

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