Seja
Descreve o algoritmo para calcular valor da função
utilizando um sistema de ponto flutuante, tal que o relativo do resultado será da ordem do erro da representação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o valor da função
usando um sistema de ponto flutuante. Isso significa que vamos lidar com números que têm uma representação limitada, o que pode introduzir erros. O objetivo é criar um algoritmo que calcule
de maneira que o erro relativo fique na ordem do erro da representação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
faz. Ela calcula a diferença entre a raiz quadrada de
e
. Quando
é grande,
fica muito próximo de
, o que pode causar uma subtração de dois números quase iguais. Isso pode levar a uma perda de precisão, porque os dígitos significativos podem se cancelar, aumentando o erro.
Passo 3
Para evitar esse problema, podemos reformular a função de uma maneira que evite a subtração de números quase iguais. Uma técnica comum é multiplicar e dividir por uma expressão conjugada. Vamos fazer isso:
Ao multiplicar os numeradores e denominadores, simplificamos a expressão:
Agora, a função está reescrita de uma forma que evita a subtração de números próximos, o que melhora a precisão no cálculo usando ponto flutuante.
Passo 4
Então, o algoritmo para calcular
de forma eficiente e precisa será:
- Calcular
. - Somar
ao resultado da raiz quadrada. - Dividir 1 pelo resultado da soma.
Isso garante que o cálculo de
não sofra com a perda de precisão devido à subtração de termos quase iguais.
Resposta
O algoritmo para calcular
com erro relativo na ordem do erro de representação é:
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Seja
Descreve o algoritmo para calcular valor da função
utilizando um sistema de ponto flutuante, tal que o relativo do resultado será da ordem do erro da representação.
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de ponto flutuante com 8 dígitos da mantissa
.
Represente 5.7 no sistema binário
de ponto flutuante com 8 dígitos da mantissa
.
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utilizando o método de Newton-Raphson.