Seja
f(x)=raiz1+x^2-x
Descreve o algoritmo para calcular valor da função f(x) utilizando um sistema de ponto flutuante, tal que o relativo do resultado será da ordem do erro da representação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o valor da função usando um sistema de ponto flutuante. Isso significa que vamos lidar com números que têm uma representação limitada, o que pode introduzir erros. O objetivo é criar um algoritmo que calcule de maneira que o erro relativo fique na ordem do erro da representação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função faz. Ela calcula a diferença entre a raiz quadrada de e . Quando é grande, fica muito próximo de , o que pode causar uma subtração de dois números quase iguais. Isso pode levar a uma perda de precisão, porque os dígitos significativos podem se cancelar, aumentando o erro.

Passo 3

Para evitar esse problema, podemos reformular a função de uma maneira que evite a subtração de números quase iguais. Uma técnica comum é multiplicar e dividir por uma expressão conjugada. Vamos fazer isso:
f(x) = raiz1 + x^2 - x = (raiz1 + x^2 - x)(raiz1 + x^2 + x)raiz1 + x^2 + x
Ao multiplicar os numeradores e denominadores, simplificamos a expressão:
f(x) = 1 + x^2 - x^2raiz1 + x^2 + x = 1raiz1 + x^2 + x
Agora, a função está reescrita de uma forma que evita a subtração de números próximos, o que melhora a precisão no cálculo usando ponto flutuante.

Passo 4

Então, o algoritmo para calcular de forma eficiente e precisa será:
  1. Calcular .
  2. Somar ao resultado da raiz quadrada.
  3. Dividir 1 pelo resultado da soma.
Isso garante que o cálculo de não sofra com a perda de precisão devido à subtração de termos quase iguais.

Resposta

O algoritmo para calcular f(x) = 1raiz1 + x^2 + x com erro relativo na ordem do erro de representação é:

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