Seja o sistema , com e .
(a) Determinar o vetor solução do sistema através do Método da Eliminação de Gauss. Fornecer os valores em cada iteração do método numérico utilizado e o desenvolvimento teórico.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações lineares representado por , onde a matriz é:
Vamos resolver esse sistema usando o Método da Eliminação de Gauss. Para isso, precisamos transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma triangular, facilitando a obtenção das soluções.

Passo 2

Primeiro, construímos a matriz aumentada combinando e :
O objetivo é eliminar as entradas abaixo do primeiro pivô (que é 3 na posição (1,1)), transformando os elementos abaixo dele em zero.

Passo 3

Para eliminar o elemento na posição (2,1), que é 1, usamos a primeira linha. Calculamos o fator de eliminação:
Subtraímos vezes a primeira linha da segunda linha:
Nossa matriz agora fica:

Passo 4

Agora, eliminamos o elemento na posição (3,1), que é 4. Calculamos o fator de eliminação:
Subtraímos vezes a primeira linha da terceira linha:
A matriz agora é:

Passo 5

Agora, focamos na segunda coluna para eliminar o elemento abaixo do segundo pivô, que é na posição (3,2). Primeiro, identificamos o segundo pivô, que é . Para que o método funcione, precisamos que esse pivô seja diferente de zero, ou seja, .
Calculamos o fator de eliminação:
Subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:
Simplificando:

Passo 6

Com a matriz triangularizada, podemos escrever as equações correspondentes:
Agora, resolvemos a partir da última equação para encontrar , depois substituímos para achar e, por fim, .

Passo 7

Resolvendo para na terceira equação:
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos na segunda equação para encontrar :
Isolando :
Simplificando:

Passo 9

Por fim, substituímos e na primeira equação para encontrar :
Isolando :
Simplificando:

Resposta

Portanto, a solução do sistema pelo Método da Eliminação de Gauss é:
Essa é a solução geral do sistema em termos de , assumindo que e para que as operações sejam válidas.

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