Seja o sistema A x=b, com A=[ccc3 & 2 & 0 1 & alpha & -3 4 & -2 & 6], b=[l1 2 3] e x=[lx1 x2 x3].
(a) Determinar o vetor solução do sistema através do Método da Eliminação de Gauss. Fornecer os valores em cada iteração do método numérico utilizado e o desenvolvimento teórico.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações lineares representado por A x = b, onde a matriz A é:
A = 3 & 2 & 0 1 & alpha & -3 4 & -2 & 6 , b = 1 2 3 , x = x1 x2 x3
Vamos resolver esse sistema usando o Método da Eliminação de Gauss. Para isso, precisamos transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma triangular, facilitando a obtenção das soluções.

Passo 2

Primeiro, construímos a matriz aumentada combinando A e b:
3 & 2 & 0 & | & 1 1 & alpha & -3 & | & 2 4 & -2 & 6 & | & 3
O objetivo é eliminar as entradas abaixo do primeiro pivô (que é 3 na posição (1,1)), transformando os elementos abaixo dele em zero.

Passo 3

Para eliminar o elemento na posição (2,1), que é 1, usamos a primeira linha. Calculamos o fator de eliminação:
f21 = 13
Subtraímos f21 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha 2' &= Linha 2 - f21 times Linha 1 &= 1 & alpha & -3 & | & 2 - 13 3 & 2 & 0 & | & 1 &= 0 & alpha - 23 & -3 & | & 53
Nossa matriz agora fica:
3 & 2 & 0 & | & 1 0 & alpha - 23 & -3 & | & 53 4 & -2 & 6 & | & 3

Passo 4

Agora, eliminamos o elemento na posição (3,1), que é 4. Calculamos o fator de eliminação:
f31 = 43
Subtraímos f31 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3' &= Linha 3 - f31 times Linha 1 &= 4 & -2 & 6 & | & 3 - 43 3 & 2 & 0 & | & 1 &= 0 & -103 & 6 & | & 53
A matriz agora é:
3 & 2 & 0 & | & 1 0 & alpha - 23 & -3 & | & 53 0 & -103 & 6 & | & 53

Passo 5

Agora, focamos na segunda coluna para eliminar o elemento abaixo do segundo pivô, que é -103 na posição (3,2). Primeiro, identificamos o segundo pivô, que é alpha - 23. Para que o método funcione, precisamos que esse pivô seja diferente de zero, ou seja, alpha neq 23.
Calculamos o fator de eliminação:
f32 = -103alpha - 23
Subtraímos f32 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha 3' &= Linha 3 + f32 times Linha 2 &= 0 & -103 & 6 & | & 53 + -103alpha - 23 0 & alpha - 23 & -3 & | & 53 &= 0 & 0 & 6 + 103 times 3alpha - 23 & | & 53 + -103 times 53alpha - 23
Simplificando:
A33 &= 6 + 10alpha - 23 b3 &= 53 - 509(alpha - 23)

Passo 6

Com a matriz triangularizada, podemos escrever as equações correspondentes:
3x1 + 2x2 = 1 (alpha - 23)x2 - 3x3 = 53 (6 + 10alpha - 23)x3 = 53 - 509(alpha - 23)
Agora, resolvemos a partir da última equação para encontrar x3, depois substituímos para achar x2 e, por fim, x1.

Passo 7

Resolvendo para x3 na terceira equação:
x3 = 53 - 509(alpha - 23)6 + 10alpha - 23
Simplificando:
x3 = 5(alpha - 23) - 50318(alpha - 23) + 10
x3 = 5alpha - 103 - 50318alpha - 12 + 10
x3 = 5alpha - 60318alpha - 2
x3 = 5alpha - 2018alpha - 2

Passo 8

Agora, substituímos x3 na segunda equação para encontrar x2:
(alpha - 23)x2 - 3(5alpha - 2018alpha - 2) = 53
Isolando x2:
x2 = 53 + 3(5alpha - 2018alpha - 2)alpha - 23
Simplificando:
x2 = 53(18alpha - 2) + 15alpha - 60(18alpha - 2)(alpha - 23)
x2 = 30alpha - 103 + 15alpha - 60(18alpha - 2)(alpha - 23)
x2 = 45alpha - 1903(18alpha - 2)(alpha - 23)

Passo 9

Por fim, substituímos x2 e x3 na primeira equação para encontrar x1:
3x1 + 2(45alpha - 1903(18alpha - 2)(alpha - 23)) = 1
Isolando x1:
x1 = 1 - 2(45alpha - 1903(18alpha - 2)(alpha - 23))3
Simplificando:
x1 = (18alpha - 2)(alpha - 23) - 2(45alpha - 1903)3(18alpha - 2)(alpha - 23)
x1 = (18alpha - 2)(alpha - 23) - 90alpha + 38033(18alpha - 2)(alpha - 23)

Resposta

Portanto, a solução do sistema pelo Método da Eliminação de Gauss é:
x1 = dfrac(18alpha - 2)(alpha - dfrac23) - 90alpha + dfrac38033(18alpha - 2)(alpha - dfrac23) x2 = dfrac45alpha - dfrac1903(18alpha - 2)(alpha - dfrac23) x3 = dfrac5alpha - 2018alpha - 2
Essa é a solução geral do sistema em termos de alpha, assumindo que alpha neq dfrac23 e 18alpha - 2 neq 0 para que as operações sejam válidas.

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