Seja o sistema , com e .
(a) Determinar o vetor solução do sistema através do Método da Eliminação de Gauss. Fornecer os valores em cada iteração do método numérico utilizado e o desenvolvimento teórico.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações lineares representado por , onde a matriz é:
Vamos resolver esse sistema usando o Método da Eliminação de Gauss. Para isso, precisamos transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma triangular, facilitando a obtenção das soluções.
Passo 2
Primeiro, construímos a matriz aumentada combinando e :
O objetivo é eliminar as entradas abaixo do primeiro pivô (que é 3 na posição (1,1)), transformando os elementos abaixo dele em zero.
Passo 3
Para eliminar o elemento na posição (2,1), que é 1, usamos a primeira linha. Calculamos o fator de eliminação:
Subtraímos vezes a primeira linha da segunda linha:
Nossa matriz agora fica:
Passo 4
Agora, eliminamos o elemento na posição (3,1), que é 4. Calculamos o fator de eliminação:
Subtraímos vezes a primeira linha da terceira linha:
A matriz agora é:
Passo 5
Agora, focamos na segunda coluna para eliminar o elemento abaixo do segundo pivô, que é na posição (3,2). Primeiro, identificamos o segundo pivô, que é . Para que o método funcione, precisamos que esse pivô seja diferente de zero, ou seja, .
Calculamos o fator de eliminação:
Subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:
Simplificando:
Passo 6
Com a matriz triangularizada, podemos escrever as equações correspondentes:
Agora, resolvemos a partir da última equação para encontrar , depois substituímos para achar e, por fim, .
Passo 7
Resolvendo para na terceira equação:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos na segunda equação para encontrar :
Isolando :
Simplificando:
Passo 9
Por fim, substituímos e na primeira equação para encontrar :
Isolando :
Simplificando:
Resposta
Portanto, a solução do sistema pelo Método da Eliminação de Gauss é:
Essa é a solução geral do sistema em termos de , assumindo que e para que as operações sejam válidas.