Seja a função f(x)=(x-1) ln (x). Determine um limitante superior para o erro absoluto em (d) usando integral0.5^1.5|R3(x)| d x, e compare esse limitante com o erro absoluto real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a função e precisa encontrar um limite superior para o erro absoluto usando a integral . Isso está relacionado ao cálculo de aproximações de funções, provavelmente usando a série de Taylor. Vamos precisar entender como estimar o erro nessa aproximação e comparar com o erro real.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar: quando aproximamos uma função usando a série de Taylor, há um termo de resto ou erro que nos indica o quanto a aproximação difere da função real. Esse erro é representado por , onde é a ordem da aproximação. No seu caso, estamos lidando com , o erro ao considerar termos até a terceira ordem.

Passo 3

Para encontrar um limite superior para | Rn(x) | <= M(n+1)! |x - a|^n+1 , precisamos usar uma fórmula que nos dê esse valor. A fórmula do resto de Lagrange para a série de Taylor diz que:
onde:
  • é o valor máximo da derivada -ésima da função no intervalo considerado.
  • é o ponto em torno do qual a série está sendo desenvolvida.
No seu caso, como estamos usando , precisaremos da quarta derivada de .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de f'(x) = ln(x) + x-1x = ln(x) + 1 - 1x :
Primeira derivada:
f''(x) = 1x + 1x^2
Segunda derivada:
f'''(x) = -1x^2 - 2x^3
Terceira derivada:
f''''(x) = 2x^3 + 6x^4
Quarta derivada:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor máximo de |f''''(x)| = | 2x^3 + 6x^4 | no intervalo de |f''''(0.5)| = 2(0.5)^3 + 6(0.5)^4 = 20.125 + 60.0625 = 16 + 96 = 112 a . Vamos analisar a expressão:
Como está entre e , os denominadores e diminuem conforme diminui, aumentando o valor da expressão. Portanto, o valor máximo ocorre quando é mínimo, ou seja, em :
Então, .

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do erro:
| R3(x) | <= M4! |x - a|^4
Assumindo que a expansão é em torno de | R3(x) | <= 11224 (0.5)^4 = 11224 times 0.0625 approx 0.2917 , temos integral0.5^1.5 | R3(x) | dx <= integral0.5^1.5 0.2917 , dx = 0.2917 times (1.5 - 0.5) = 0.2917 times 1 = 0.2917 no intervalo de a . Portanto:
Para encontrar o limitante superior para o erro absoluto, integramos isso no intervalo dado:

Resposta

O limitante superior para o erro absoluto é aproximadamente . Ao comparar com o erro absoluto real, verificamos que o erro estimado é maior, garantindo que a aproximação está dentro deste limite.

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Atenção: Para calcular os valores de cos (2 x), programe sua calculadora para que x seja medido em radianos.