Seja a função . Determine um limitante superior para o erro absoluto em (d) usando , e compare esse limitante com o erro absoluto real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a função e precisa encontrar um limite superior para o erro absoluto usando a integral . Isso está relacionado ao cálculo de aproximações de funções, provavelmente usando a série de Taylor. Vamos precisar entender como estimar o erro nessa aproximação e comparar com o erro real.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar: quando aproximamos uma função usando a série de Taylor, há um termo de resto ou erro que nos indica o quanto a aproximação difere da função real. Esse erro é representado por , onde é a ordem da aproximação. No seu caso, estamos lidando com , o erro ao considerar termos até a terceira ordem.
Passo 3
Para encontrar um limite superior para , precisamos usar uma fórmula que nos dê esse valor. A fórmula do resto de Lagrange para a série de Taylor diz que:
onde:
é o valor máximo da derivada -ésima da função no intervalo considerado.
é o ponto em torno do qual a série está sendo desenvolvida.
No seu caso, como estamos usando , precisaremos da quarta derivada de .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor máximo de no intervalo de a . Vamos analisar a expressão:
Como está entre e , os denominadores e diminuem conforme diminui, aumentando o valor da expressão. Portanto, o valor máximo ocorre quando é mínimo, ou seja, em :
Então, .
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula do erro:
| R3(x) | <= M4! |x - a|^4
Assumindo que a expansão é em torno de | R3(x) | <= 11224 (0.5)^4 = 11224 times 0.0625 approx 0.2917 , temos integral0.5^1.5 | R3(x) | dx <= integral0.5^1.5 0.2917 , dx = 0.2917 times (1.5 - 0.5) = 0.2917 times 1 = 0.2917 no intervalo de a . Portanto:
Para encontrar o limitante superior para o erro absoluto, integramos isso no intervalo dado:
Resposta
O limitante superior para o erro absoluto é aproximadamente . Ao comparar com o erro absoluto real, verificamos que o erro estimado é maior, garantindo que a aproximação está dentro deste limite.