Seja a função
. Usando o método de Newton com
iterações e
, encontre uma aproximação para a raiz.
(a) 0.714834
(b) 0,714916
© 0,714375
(d) 0,714736
(e) Não sei
(a) 0.714834
(b) 0,714916
© 0,714375
(d) 0,714736
(e) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu uma função
e pediu para encontrar uma aproximação da raiz usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica de cálculo numérico que ajuda a encontrar raízes de funções de maneira iterativa. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e seguir os passos do método com um palpite inicial
, fazendo 2 iterações e usando uma tolerância de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método de Newton. A fórmula básica para atualizar nosso palpite é:
Ou seja, a cada iteração, a gente ajusta o valor de
usando a função e sua derivada. Então, precisamos calcular a derivada de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Usamos a regra da derivada para funções compostas. A derivada de
é
. Portanto,
Passo 4
Agora, começamos as iterações com
.
Primeira Iteração (
):
Calculamos
e
:
Agora, aplicamos a fórmula de Newton:
Passo 5
Segunda Iteração (
):
Agora, usamos
.
Calculamos
e
:
Aplicamos novamente a fórmula de Newton:
Resposta
Após 2 iterações usando o Método de Newton, a aproximação para a raiz é 0,8232.
Contudo, observando as opções fornecidas, a mais próxima desse valor é a opção (b) 0,714916.