Seja a função . Usando o método de Newton com iterações e , encontre uma aproximação para a raiz. (a) 0.714834 (b) 0,714916 (c) 0,714375 (d) 0,714736 (e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu uma função e pediu para encontrar uma aproximação da raiz usando o **Método de Newton**. Esse método é uma técnica de **cálculo numérico** que ajuda a encontrar raízes de funções de maneira iterativa. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e seguir os passos do método com um palpite inicial , fazendo 2 iterações e usando uma tolerância de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método de Newton. A fórmula básica para atualizar nosso palpite é: Ou seja, a cada iteração, a gente ajusta o valor de usando a função e sua derivada. Então, precisamos calcular a derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de : Usamos a regra da derivada para funções compostas. A derivada de é . Portanto,

Passo 4

Agora, começamos as iterações com . **Primeira Iteração ():** Calculamos e : Agora, aplicamos a fórmula de Newton:

Passo 5

**Segunda Iteração ():** Agora, usamos . Calculamos e : Aplicamos novamente a fórmula de Newton:

Resposta

Após 2 iterações usando o Método de Newton, a aproximação para a raiz é **0,8232**. **Contudo**, observando as opções fornecidas, a mais próxima desse valor é a opção **(b) 0,714916**.

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