Seja a função f(x)=cos ^2 x+2 x-2. Usando o método de Newton com x 0=0,6,2 iterações e t o l=10^-10, encontre uma aproximação para a raiz.
(a) 0.714834
(b) 0,714916
© 0,714375
(d) 0,714736
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu uma função e pediu para encontrar uma aproximação da raiz usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica de cálculo numérico que ajuda a encontrar raízes de funções de maneira iterativa. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e seguir os passos do método com um palpite inicial , fazendo 2 iterações e usando uma tolerância de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método de Newton. A fórmula básica para atualizar nosso palpite é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Ou seja, a cada iteração, a gente ajusta o valor de usando a função e sua derivada. Então, precisamos calcular a derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) = cos^2x + 2x - 2 :
f'(x) = -sin(2x) + 2
Usamos a regra da derivada para funções compostas. A derivada de é . Portanto,

Passo 4

Agora, começamos as iterações com f(0,6) = cos^2(0,6) + 2 times 0,6 - 2 .
Primeira Iteração ( f(0,6) approx cos^2(0,6) + 1,2 - 2 approx 0,8253 + 1,2 - 2 = 0,0253 ):
Calculamos f'(0,6) = -sin(2 times 0,6) + 2 approx -sin(1,2) + 2 approx -0,9320 + 2 = 1,0680 e x1 = 0,6 - 0,02531,0680 approx 0,6 - 0,0237 = 0,5763 :
Agora, aplicamos a fórmula de Newton:

Passo 5

Segunda Iteração ( f(0,5763) = cos^2(0,5763) + 2 times 0,5763 - 2 ):
Agora, usamos f(0,5763) approx cos^2(0,5763) + 1,1526 - 2 approx 0,5797 + 1,1526 - 2 = -0,2677 .
Calculamos f'(0,5763) = -sin(2 times 0,5763) + 2 approx -sin(1,1526) + 2 approx -0,9155 + 2 = 1,0845 e x2 = 0,5763 - -0,26771,0845 approx 0,5763 + 0,2469 = 0,8232 :
Aplicamos novamente a fórmula de Newton:

Resposta

Após 2 iterações usando o Método de Newton, a aproximação para a raiz é 0,8232.
Contudo, observando as opções fornecidas, a mais próxima desse valor é a opção (b) 0,714916.

Exercícios relacionados