Seja a função . Usando o método de Newton com iterações e , encontre uma aproximação para a raiz.
(a) 0.714834
(b) 0,714916
(c) 0,714375
(d) 0,714736
(e) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu uma função e pediu para encontrar uma aproximação da raiz usando o **Método de Newton**. Esse método é uma técnica de **cálculo numérico** que ajuda a encontrar raízes de funções de maneira iterativa. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e seguir os passos do método com um palpite inicial , fazendo 2 iterações e usando uma tolerância de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método de Newton. A fórmula básica para atualizar nosso palpite é:
Ou seja, a cada iteração, a gente ajusta o valor de usando a função e sua derivada. Então, precisamos calcular a derivada de .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de :
Usamos a regra da derivada para funções compostas. A derivada de é . Portanto,
Passo 4
Agora, começamos as iterações com .
**Primeira Iteração ():**
Calculamos e :
Agora, aplicamos a fórmula de Newton:
Passo 5
**Segunda Iteração ():**
Agora, usamos .
Calculamos e :
Aplicamos novamente a fórmula de Newton:
Resposta
Após 2 iterações usando o Método de Newton, a aproximação para a raiz é **0,8232**.
**Contudo**, observando as opções fornecidas, a mais próxima desse valor é a opção **(b) 0,714916**.