Seja a função f(x)=(x-1) ln (x). Aproxime integral0.5^1.5 f(x) d x usando integral0.5^1.5 P3(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa aproximar a integral dessa função de até usando o polinômio de Taylor de grau 3, que é o . Basicamente, vamos usar uma aproximação polinomial para calcular essa área sob a curva de forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 para a função . Isso significa que vamos desenvolver uma série de potências que aproxima perto de um ponto específico, geralmente em torno de . Vamos escolher porque é o ponto onde a função e suas derivadas são mais fáceis de calcular.

Passo 3

Para encontrar f'(x) = ddx [(x - 1) ln(x)] = ln(x) + x - 1x , calculamos as derivadas de f'(1) = ln(1) + 1 - 11 = 0 até a terceira ordem e avaliamos em f''(x) = ddx [ln(x) + x - 1x] = 1x + 1 cdot x - (x - 1)x^2 = 1x + 1x^2 :
  1. Derivada de primeira ordem:
    f''(1) = 1 + 1 = 2
    Avaliando em f'''(x) = ddx ( 1x + 1x^2 ) = -1x^2 - 2x^3 :
    f'''(1) = -1 - 2 = -3
  2. Derivada de segunda ordem:
    Avaliando em :
  3. Derivada de terceira ordem:
    Avaliando em :

Passo 4

Agora, montamos o polinômio de Taylor de grau 3 usando as derivadas que calculamos:
P3(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + f''(1)2!(x - 1)^2 + f'''(1)3!(x - 1)^3
Sabemos que:
f(1) = (1 - 1) ln(1) = 0
f'(1) = 0
f''(1) = 2
f'''(1) = -3
Então:
P3(x) = 0 + 0 cdot (x - 1) + 22(x - 1)^2 + -36(x - 1)^3 = (x - 1)^2 - 12(x - 1)^3

Passo 5

Com o polinômio integral0.5^1.5 P3(x) , dx = integral0.5^1.5 ( (x - 1)^2 - 12(x - 1)^3 ) dx em mãos, vamos integrar de até :

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Integral de integral (x - 1)^2 dx = (x - 1)^33 :
    integral 12(x - 1)^3 dx = 12 cdot (x - 1)^44 = (x - 1)^48
  2. Integral de (x - 1)^33 - (x - 1)^48 gr|0.5^1.5 :
Então, a integral total fica:

Passo 7

Agora, avaliamos de (1.5 - 1) = 0.5 até 0.5^33 - 0.5^48 = 0.1253 - 0.06258 approx 0.04167 - 0.0078125 = 0.033855 :
  1. Para (0.5 - 1) = -0.5 :
    (-0.5)^33 - (-0.5)^48 = -0.1253 - 0.06258 approx -0.04167 - 0.0078125 = -0.049485
  2. Para :

Passo 8

Subtraímos os resultados:
0.033855 - (-0.049485) = 0.033855 + 0.049485 = 0.08334

Resposta

A aproximação de usando o polinômio de Taylor de grau 3 é aproximadamente .

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