Verifique que o -ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série satisfaz as condições do Teste da Integral. Esse teste é usado para determinar se uma série infinita converge ou não, utilizando integrais. Então, vamos precisar saber sobre séries, integrais e como aplicar esse teste.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . Para aplicar o Teste da Integral, precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para .

Passo 3

Vamos verificar a positividade. Como é sempre maior ou igual a para , temos . No entanto, para , é positivo. Então, a função é positiva a partir de .

Passo 4

Agora, a continuidade. A função é contínua para todos os onde o denominador não é zero. Como quando , e estamos considerando , a função é contínua nesse intervalo.

Passo 5

Vamos verificar se a função é decrescente. Calculando a derivada de :
Como , , o que significa que é decrescente nesse intervalo.

Passo 6

Com todas as condições satisfeitas (positividade, continuidade e decrescimento), podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral imprópria correspondente:

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite da integral de 2 até infinito:
Quando tende ao infinito, tende a 1, e o logaritmo de 1 é 0. Então, a integral se torna:
Esse valor é finito, o que significa que a integral converge.

Resposta

Como a integral correspondente converge, pelo Teste da Integral, a série também converge.

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