Verifique que o -ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série satisfaz as condições do Teste da Integral. Esse teste é usado para determinar se uma série infinita converge ou não, utilizando integrais. Então, vamos precisar saber sobre séries, integrais e como aplicar esse teste.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . Para aplicar o Teste da Integral, precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para .
Passo 3
Vamos verificar a positividade. Como é sempre maior ou igual a para , temos . No entanto, para , é positivo. Então, a função é positiva a partir de .
Passo 4
Agora, a continuidade. A função é contínua para todos os onde o denominador não é zero. Como quando , e estamos considerando , a função é contínua nesse intervalo.
Passo 5
Vamos verificar se a função é decrescente. Calculando a derivada de :
Como , , o que significa que é decrescente nesse intervalo.
Passo 6
Com todas as condições satisfeitas (positividade, continuidade e decrescimento), podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral imprópria correspondente:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Sabemos que:
No nosso caso, , então:
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite da integral de 2 até infinito:
Quando tende ao infinito, tende a 1, e o logaritmo de 1 é 0. Então, a integral se torna:
Esse valor é finito, o que significa que a integral converge.
Resposta
Como a integral correspondente converge, pelo Teste da Integral, a série também converge.