Usando o algoritmo da divisão mostre que:
© De três inteiros consecutivos, um é múltiplo de 3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, entre três números inteiros consecutivos, sempre há pelo menos um que é múltiplo de 3. Para isso, vamos usar o algoritmo da divisão, que nos ajuda a dividir um número por outro e identificar o resto dessa divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar três números inteiros consecutivos. Vamos chamar o primeiro de . Assim, os três números são:
Esses são três números seguidos, sem pular nenhum.

Passo 3

Agora, vamos usar o algoritmo da divisão para dividir o número por 3. Quando dividimos por 3, podemos escrever:
onde:
  • é o quociente (resultado da divisão inteira),
  • é o resto da divisão e pode ser 0, 1 ou 2.

Passo 4

Vamos analisar os possíveis valores de :
  1. Se :
    Isso significa que é exatamente divisível por 3, ou seja, é múltiplo de 3.
  2. Se :
    Aqui, é divisível por 3, então é múltiplo de 3.
  3. Se :
    Nesse caso, é divisível por 3, logo é múltiplo de 3.

Passo 5

Em todos os casos possíveis (quando , ou ), pelo menos um dos três números consecutivos , , ou é múltiplo de 3.

Resposta

Portanto, demonstramos que, entre três números inteiros consecutivos, sempre há pelo menos um número que é múltiplo de 3.

Exercícios relacionados

Sejam números inteiros. Mostre que
(a) Se então, e .
Seja um inteiro tal que .
Mostre que ou . (Dica: Use o princípio da boa ordem).
Escreva:
(b) 218 em base 2.
Seja um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é dada por
(a) sse .