Usando o algoritmo da divisão mostre que:
© De três inteiros consecutivos, um é múltiplo de 3.
© De três inteiros consecutivos, um é múltiplo de 3.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, entre três números inteiros consecutivos, sempre há pelo menos um que é múltiplo de 3. Para isso, vamos usar o algoritmo da divisão, que nos ajuda a dividir um número por outro e identificar o resto dessa divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar três números inteiros consecutivos. Vamos chamar o primeiro de
. Assim, os três números são:
Esses são três números seguidos, sem pular nenhum.
Passo 3
Agora, vamos usar o algoritmo da divisão para dividir o número
por 3. Quando dividimos
por 3, podemos escrever:
onde:
-
é o quociente (resultado da divisão inteira), -
é o resto da divisão e pode ser 0, 1 ou 2.
Passo 4
Vamos analisar os possíveis valores de
:
-
Se
: Isso significa queé exatamente divisível por 3, ou seja, é múltiplo de 3. -
Se
: Aqui,é divisível por 3, então é múltiplo de 3. -
Se
: Nesse caso,é divisível por 3, logo é múltiplo de 3.
Passo 5
Em todos os casos possíveis (quando
,
ou
), pelo menos um dos três números consecutivos
,
, ou
é múltiplo de 3.
Resposta
Portanto, demonstramos que, entre três números inteiros consecutivos, sempre há pelo menos um número que é múltiplo de 3.
Exercícios relacionados
Sejam
números inteiros. Mostre que
(a) Se então,
e
.
(a) Se
Seja
um inteiro tal que
.
Mostre que ou
. (Dica: Use o princípio da boa ordem).
Mostre que
Escreva:
(b) 218 em base 2.
(b) 218 em base 2.
Seja
um inteiro positivo cuja expressão na base 10 é dada por
(a)
sse
.