Usando o algoritmo da divisão mostre que:
© De três inteiros consecutivos, um é múltiplo de 3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, entre três números inteiros consecutivos, sempre há pelo menos um que é múltiplo de 3. Para isso, vamos usar o algoritmo da divisão, que nos ajuda a dividir um número por outro e identificar o resto dessa divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar três números inteiros consecutivos. Vamos chamar o primeiro de n, , n + 1, , n + 2 . Assim, os três números são:
Esses são três números seguidos, sem pular nenhum.

Passo 3

Agora, vamos usar o algoritmo da divisão para dividir o número n = 3q + r por 3. Quando dividimos por 3, podemos escrever:
onde:
  • é o quociente (resultado da divisão inteira),
  • é o resto da divisão e pode ser 0, 1 ou 2.

Passo 4

Vamos analisar os possíveis valores de n = 3q + 0 :
  1. Se n + 2 = (3q + 1) + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1) :
    n + 1 = (3q + 2) + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1)
    Isso significa que é exatamente divisível por 3, ou seja, é múltiplo de 3.
  2. Se :
    Aqui, é divisível por 3, então é múltiplo de 3.
  3. Se :
    Nesse caso, é divisível por 3, logo é múltiplo de 3.

Passo 5

Em todos os casos possíveis (quando , ou ), pelo menos um dos três números consecutivos , , ou é múltiplo de 3.

Resposta

Portanto, demonstramos que, entre três números inteiros consecutivos, sempre há pelo menos um número que é múltiplo de 3.

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