Sejam números inteiros. Mostre que
(a) Se então, e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre divisibilidade entre números inteiros. Precisamos mostrar que, se divide (ou seja, ), então também , e . Para isso, vamos revisar o que significa um número dividir outro e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que existe um número inteiro tal que . Ou seja, multiplicado por algum inteiro dá exatamente .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que . Sabemos que . Podemos reescrever isso como , já que multiplicar dois negativos dá um positivo. Aqui, é também um número inteiro, pois o inverso de um inteiro continua inteiro. Então, existe um inteiro tal que , o que prova que .

Passo 4

Em seguida, vamos provar que . Sabemos que . Multiplicando ambos os lados por , temos . Como é um inteiro, isso mostra que , pois existe um inteiro que satisfaz a equação.

Passo 5

Por fim, vamos demonstrar que . Já que , podemos reescrever isso como . Aqui, é um inteiro, então existe um inteiro tal que . Isso prova que .

Resposta

Portanto, se , então também , e , conforme demonstrado passo a passo.

Exercícios relacionados

Seja um inteiro tal que .
Mostre que ou . (Dica: Use o princípio da boa ordem).
(a) Sejam inteiros tais que . Mostre que .
Usando o algoritmo da divisão mostre que:
© De três inteiros consecutivos, um é múltiplo de 3.
Escreva:
(b) 218 em base 2.