Sejam
números inteiros. Mostre que
(a) Se
então,
e
.
(a) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre divisibilidade entre números inteiros. Precisamos mostrar que, se
divide
(ou seja,
), então também
,
e
. Para isso, vamos revisar o que significa um número dividir outro e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que existe um número inteiro
tal que
. Ou seja,
multiplicado por algum inteiro dá exatamente
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
. Sabemos que
. Podemos reescrever isso como
, já que multiplicar dois negativos dá um positivo. Aqui,
é também um número inteiro, pois o inverso de um inteiro continua inteiro. Então, existe um inteiro
tal que
, o que prova que
.
Passo 4
Em seguida, vamos provar que
. Sabemos que
. Multiplicando ambos os lados por
, temos
. Como
é um inteiro, isso mostra que
, pois existe um inteiro
que satisfaz a equação.
Passo 5
Por fim, vamos demonstrar que
. Já que
, podemos reescrever isso como
. Aqui,
é um inteiro, então existe um inteiro
tal que
. Isso prova que
.
Resposta
Portanto, se
, então também
,
e
, conforme demonstrado passo a passo.
Exercícios relacionados
Seja
um inteiro tal que
.
Mostre que ou
. (Dica: Use o princípio da boa ordem).
Mostre que
(a) Sejam
inteiros tais que
. Mostre que
.
Usando o algoritmo da divisão mostre que:
© De três inteiros consecutivos, um é múltiplo de 3.
© De três inteiros consecutivos, um é múltiplo de 3.
Escreva:
(b) 218 em base 2.
(b) 218 em base 2.