a) Determine os valores do parâmetro m para que o sistema tenha apenas a solução nula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo aqui é encontrar os valores de que fazem com que a única solução possível seja a trivial, ou seja, . Para isso, vamos usar um conceito importante da álgebra linear: o determinante da matriz dos coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes desse sistema. A matriz é formada pelos números que estão na frente das variáveis em cada equação. No nosso caso, a matriz fica assim:
Passo 3
Agora, para que o sistema tenha apenas a solução trivial, o determinante dessa matriz precisa ser diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de :
Passo 4
Vamos calcular cada um dos menores:
Primeiro menor:
Segundo menor:
Terceiro menor:
Passo 5
Substituindo esses valores no determinante:
Simplificando:
Passo 6
Agora, queremos que o determinante seja diferente de zero:
Fatorando:
Passo 7
Isso significa que não pode ser igual a 0 nem a -2. Ou seja:
Resposta
Os valores de que garantem que o sistema tenha apenas a solução nula são todos os reais diferentes de 0 e de -2. Ou seja, e .