a) Determine os valores do parâmetro m para que o sistema tenha apenas a solução nula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo aqui é encontrar os valores de que fazem com que a única solução possível seja a trivial, ou seja, . Para isso, vamos usar um conceito importante da álgebra linear: o determinante da matriz dos coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes desse sistema. A matriz é formada pelos números que estão na frente das variáveis em cada equação. No nosso caso, a matriz fica assim:
A = 1 & 1 & m 1 & -1 & 1 2 & m & 1
Passo 3
Agora, para que o sistema tenha apenas a solução trivial, o determinante dessa matriz precisa ser diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot -1 & 1 m & 1 - 1 cdot 1 & 1 2 & 1 + m cdot 1 & -1 2 & m :
Passo 4
Vamos calcular cada um dos menores:
Primeiro menor:
-1 & 1 m & 1 = (-1)(1) - (1)(m) = -1 - m
Segundo menor:
1 & 1 2 & 1 = (1)(1) - (1)(2) = 1 - 2 = -1
Terceiro menor:
1 & -1 2 & m = (1)(m) - (-1)(2) = m + 2
Passo 5
Substituindo esses valores no determinante:
det(A) = 1 cdot (-1 - m) - 1 cdot (-1) + m cdot (m + 2)
Simplificando:
det(A) = -1 - m + 1 + m + m^2 + 2m = m^2 + 2m
Passo 6
Agora, queremos que o determinante seja diferente de zero:
m^2 + 2m neq 0
Fatorando:
m(m + 2) neq 0
Passo 7
Isso significa que m neq 0 e m neq -2 não pode ser igual a 0 nem a -2. Ou seja:
Resposta
Os valores de que garantem que o sistema tenha apenas a solução nula são todos os reais diferentes de 0 e de -2. Ou seja, e .