A velocidade de foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, segundos após o lançamento, e os dados foram registrados na tabela. Calcular usando um polinômio de grau, método de Lagrange, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento.
tempo
0
8
20
30
velocidade
0,000
52,032
160,450
275,961
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um foguete lançado do solo e medidas de sua velocidade em diferentes momentos após o lançamento. Queremos estimar qual será a velocidade do foguete 25 segundos depois de ter sido lançado, usando um método chamado polinômio de Lagrange de terceiro grau. Para isso, vamos precisar dos valores de velocidade nos tempos 0, 8, 20 e 30 segundos que estão na tabela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio de Lagrange. É uma técnica de interpolação que nos permite encontrar um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. Como temos quatro pontos, vamos usar um polinômio de terceiro grau (já que o grau é sempre um a menos que o número de pontos).
A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde são os polinômios de base de Lagrange definidos por:
Aqui, porque temos quatro pontos (índices de 0 a 3).
Passo 3
Vamos identificar nossos pontos:
Agora, vamos calcular cada :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, montamos o polinômio usando os calculados e os valores de :
Substituindo os valores:
Como , o primeiro termo desaparece:
Passo 5
Agora, vamos calcular , ou seja, a velocidade no tempo de 25 segundos:
Primeiro, substituímos nas expressões de :
Agora, multiplicamos cada pelo respectivo e somamos:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento é de 215,65 m/s.