A velocidade
de
foguete lançado do solo foi medida quatro vezes,
segundos após o lançamento, e os dados foram registrados na tabela. Calcular usando um polinômio de
grau, método de Lagrange, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento.
tempo
|
0 | 8 | 20 | 30 |
---|---|---|---|---|
velocidade
|
0,000 | 52,032 | 160,450 | 275,961 |
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um foguete lançado do solo e medidas de sua velocidade em diferentes momentos após o lançamento. Queremos estimar qual será a velocidade do foguete 25 segundos depois de ter sido lançado, usando um método chamado polinômio de Lagrange de terceiro grau. Para isso, vamos precisar dos valores de velocidade nos tempos 0, 8, 20 e 30 segundos que estão na tabela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio de Lagrange. É uma técnica de interpolação que nos permite encontrar um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. Como temos quatro pontos, vamos usar um polinômio de terceiro grau (já que o grau é sempre um a menos que o número de pontos).
A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde
são os polinômios de base de Lagrange definidos por:
Aqui,
porque temos quatro pontos (índices de 0 a 3).
Passo 3
Vamos identificar nossos pontos:
Agora, vamos calcular cada
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, montamos o polinômio
usando os
calculados e os valores de
:
Substituindo os valores:
Como
, o primeiro termo desaparece:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, ou seja, a velocidade no tempo de 25 segundos:
Primeiro, substituímos
nas expressões de
:
Agora, multiplicamos cada
pelo respectivo
e somamos:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento é de 215,65 m/s.