A velocidade v(em m / s) de u m foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, t segundos após o lançamento, e os dados foram registrados na tabela. Calcular usando um polinômio de 3^0 grau, método de Lagrange, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento.
tempo / s 0 8 20 30
velocidade (m / s) 0,000 52,032 160,450 275,961

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um foguete lançado do solo e medidas de sua velocidade em diferentes momentos após o lançamento. Queremos estimar qual será a velocidade do foguete 25 segundos depois de ter sido lançado, usando um método chamado polinômio de Lagrange de terceiro grau. Para isso, vamos precisar dos valores de velocidade nos tempos 0, 8, 20 e 30 segundos que estão na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio de Lagrange. É uma técnica de interpolação que nos permite encontrar um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. Como temos quatro pontos, vamos usar um polinômio de terceiro grau (já que o grau é sempre um a menos que o número de pontos).
A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
P(t) = sumi=0^n yi cdot Li(t)
onde Li(t) = prodsubstackj=0 j neq i^n t - tjti - tj são os polinômios de base de Lagrange definidos por:
Aqui, porque temos quatro pontos (índices de 0 a 3).

Passo 3

Vamos identificar nossos pontos:
|c|c| hline t (s) & v(t) (m/s) hline 0 & 0.000 8 & 52.032 20 & 160.450 30 & 275.961 hline
Agora, vamos calcular cada L0(t) = (t - 8)(t - 20)(t - 30)(0 - 8)(0 - 20)(0 - 30) = (t - 8)(t - 20)(t - 30)(-8)(-20)(-30) = (t - 8)(t - 20)(t - 30)-4800 :
Para L1(t) = (t - 0)(t - 20)(t - 30)(8 - 0)(8 - 20)(8 - 30) = t(t - 20)(t - 30)8 times (-12) times (-22) = t(t - 20)(t - 30)2112 :
L2(t) = (t - 0)(t - 8)(t - 30)(20 - 0)(20 - 8)(20 - 30) = t(t - 8)(t - 30)20 times 12 times (-10) = t(t - 8)(t - 30)-2400
Para L3(t) = (t - 0)(t - 8)(t - 20)(30 - 0)(30 - 8)(30 - 20) = t(t - 8)(t - 20)30 times 22 times 10 = t(t - 8)(t - 20)6600 :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, montamos o polinômio P(t) = v0 cdot L0(t) + v1 cdot L1(t) + v2 cdot L2(t) + v3 cdot L3(t) usando os P(t) = 0.000 cdot L0(t) + 52.032 cdot L1(t) + 160.450 cdot L2(t) + 275.961 cdot L3(t) calculados e os valores de P(t) = 52.032 cdot L1(t) + 160.450 cdot L2(t) + 275.961 cdot L3(t) :
Substituindo os valores:
Como , o primeiro termo desaparece:

Passo 5

Agora, vamos calcular L1(25) = 25(25 - 20)(25 - 30)2112 = 25 times 5 times (-5)2112 = -6252112 approx -0.2953 , ou seja, a velocidade no tempo de 25 segundos:
Primeiro, substituímos L2(25) = 25(25 - 8)(25 - 30)-2400 = 25 times 17 times (-5)-2400 = -2125-2400 approx 0.8854 nas expressões de L3(25) = 25(25 - 8)(25 - 20)6600 = 25 times 17 times 56600 = 21256600 approx 0.3227 :
P(25) = 52.032 times (-0.2953) + 160.450 times 0.8854 + 275.961 times 0.3227
52.032 times (-0.2953) approx -15.38
160.450 times 0.8854 approx 142.10
Agora, multiplicamos cada 275.961 times 0.3227 approx 88.93 pelo respectivo P(25) = -15.38 + 142.10 + 88.93 approx 215.65 m/s e somamos:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento é de 215,65 m/s.

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