Seja f(x)=x^2 e^2 x e a tabela abaixo:
x 0,5 0,6 0,7
f(x) 0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
d) Encontre uma expressão para o erro de truncamento.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem a função e uma tabela com alguns valores de e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma expressão para o erro de truncamento. Isso faz parte do estudo de métodos numéricos, onde a gente aproxima soluções e sempre existem erros envolvidos nessa aproximação. Vamos ver como chegar nessa expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é erro de truncamento. Quando a gente usa métodos numéricos, como aproximações de derivadas ou integrais, geralmente a gente “trunca” uma série infinita ou usa uma aproximação que corta termos. O erro de truncamento é justamente a diferença entre a solução exata e a solução aproximada devido a essa truncagem.

Passo 3

Para encontrar uma expressão para o erro de truncamento, precisamos saber qual método de aproximação estamos usando. Como não temos essa informação específica aqui, vamos supor que estamos usando uma aproximação de Taylor para a função f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + cdots + f^(n)(a)n!(x - a)^n + Rn+1(x) . A série de Taylor de em torno de um ponto é:
Onde é o termo de resto que representa o erro de truncamento ao parar a série no termo de ordem .

Passo 4

O termo de resto Rn+1(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)!(x - a)^n+1 nos dá a expressão para o erro de truncamento. Uma forma comum de expressar esse erro é usando a forma de Lagrange para o resto:
onde é algum ponto entre e .

Passo 5

Aplicando isso à nossa função Rn+1(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)!(x - a)^n+1 , vamos precisar calcular a derivada de ordem de . Vamos supor que truncamos a série na ordem , então o erro de truncamento seria:
Isso nos dá uma expressão geral para o erro de truncamento em termos da derivada de ordem da função .

Passo 6

Para finalizar, se quisermos uma expressão mais específica, precisaríamos definir até qual ordem estamos truncando a série de Taylor. Mas, de maneira geral, a expressão para o erro de truncamento é essa que dependemos da derivada de ordem seguinte e da distância elevada à potência correspondente.

Resposta

A expressão para o erro de truncamento é
Rn+1(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)!(x - a)^n+1
onde está entre e .

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