Seja
e a tabela abaixo:
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0,5 | 0,6 | 0,7 |
---|---|---|---|
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0,67957 | 1,19524 | 1,98704 |
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
d) Encontre uma expressão para o erro de truncamento.
Faça o que se pede:
d) Encontre uma expressão para o erro de truncamento.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e uma tabela com alguns valores de
e
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma expressão para o erro de truncamento. Isso faz parte do estudo de métodos numéricos, onde a gente aproxima soluções e sempre existem erros envolvidos nessa aproximação. Vamos ver como chegar nessa expressão passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é erro de truncamento. Quando a gente usa métodos numéricos, como aproximações de derivadas ou integrais, geralmente a gente “trunca” uma série infinita ou usa uma aproximação que corta termos. O erro de truncamento é justamente a diferença entre a solução exata e a solução aproximada devido a essa truncagem.
Passo 3
Para encontrar uma expressão para o erro de truncamento, precisamos saber qual método de aproximação estamos usando. Como não temos essa informação específica aqui, vamos supor que estamos usando uma aproximação de Taylor para a função
. A série de Taylor de
em torno de um ponto
é:
Onde
é o termo de resto que representa o erro de truncamento ao parar a série no termo de ordem
.
Passo 4
O termo de resto
nos dá a expressão para o erro de truncamento. Uma forma comum de expressar esse erro é usando a forma de Lagrange para o resto:
onde
é algum ponto entre
e
.
Passo 5
Aplicando isso à nossa função
, vamos precisar calcular a derivada de ordem
de
. Vamos supor que truncamos a série na ordem
, então o erro de truncamento seria:
Isso nos dá uma expressão geral para o erro de truncamento em termos da derivada de ordem
da função
.
Passo 6
Para finalizar, se quisermos uma expressão mais específica, precisaríamos definir até qual ordem estamos truncando a série de Taylor. Mas, de maneira geral, a expressão para o erro de truncamento é essa que dependemos da derivada de ordem seguinte e da distância
elevada à potência correspondente.
Resposta
A expressão para o erro de truncamento é
onde
está entre
e
.
Exercícios relacionados
Seja
e a tabela abaixo:
|
0,5 | 0,6 | 0,7 |
---|---|---|---|
|
0,67957 | 1,19524 | 1,98704 |
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de .
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de
Seja
e a tabela abaixo:
|
0,5 | 0,6 | 0,7 |
---|---|---|---|
|
0,67957 | 1,19524 | 1,98704 |
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1.
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1.
Seja
e a tabela abaixo:
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0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 |
---|---|---|---|---|
|
0,67957 | 1,19524 | 1,98704 | 3,16994 |
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.
Seja
e a tabela abaixo:
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1 | 1,5 | 2 |
---|---|---|---|
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0 | 0,60819 | 1,38629 |
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
c) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento.
Faça o que se pede:
c) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento.