Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7
0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
d) Encontre uma expressão para o erro de truncamento.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem a função e uma tabela com alguns valores de e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma expressão para o erro de truncamento. Isso faz parte do estudo de métodos numéricos, onde a gente aproxima soluções e sempre existem erros envolvidos nessa aproximação. Vamos ver como chegar nessa expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é erro de truncamento. Quando a gente usa métodos numéricos, como aproximações de derivadas ou integrais, geralmente a gente “trunca” uma série infinita ou usa uma aproximação que corta termos. O erro de truncamento é justamente a diferença entre a solução exata e a solução aproximada devido a essa truncagem.

Passo 3

Para encontrar uma expressão para o erro de truncamento, precisamos saber qual método de aproximação estamos usando. Como não temos essa informação específica aqui, vamos supor que estamos usando uma aproximação de Taylor para a função . A série de Taylor de em torno de um ponto é:
Onde é o termo de resto que representa o erro de truncamento ao parar a série no termo de ordem .

Passo 4

O termo de resto nos dá a expressão para o erro de truncamento. Uma forma comum de expressar esse erro é usando a forma de Lagrange para o resto:
onde é algum ponto entre e .

Passo 5

Aplicando isso à nossa função , vamos precisar calcular a derivada de ordem de . Vamos supor que truncamos a série na ordem , então o erro de truncamento seria:
Isso nos dá uma expressão geral para o erro de truncamento em termos da derivada de ordem da função .

Passo 6

Para finalizar, se quisermos uma expressão mais específica, precisaríamos definir até qual ordem estamos truncando a série de Taylor. Mas, de maneira geral, a expressão para o erro de truncamento é essa que dependemos da derivada de ordem seguinte e da distância elevada à potência correspondente.

Resposta

A expressão para o erro de truncamento é
onde está entre e .

Exercícios relacionados

Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7
0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de .
Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7
0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1.
Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7 0,8
0,67957 1,19524 1,98704 3,16994
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.
Seja e a tabela abaixo:
1 1,5 2
0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
c) Encontre o limitante superior para o erro de truncamento.