Sejam o valor exato e uma aproximação para . Quantas casas decimais corretas tem ? Se , então quantas casas decimais corretas tem ? Considere agora e e verifique quantas casas decimais corretas há em . Calcule, em cada caso, o erro absoluto e o erro relativo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente comparar valores exatos e aproximações para ver quantas casas decimais estão corretas em cada caso. Além disso, vamos calcular o erro absoluto e o erro relativo dessas aproximações. Para isso, vamos precisar saber como comparar números decimais e como calcular esses tipos de erro.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o caso em que é o valor exato e é a aproximação. Para descobrir quantas casas decimais estão corretas, vamos comparar os números dígito a dígito:
Comparando:
  • Milésimos (3 casas após a vírgula): ambos têm 8 na terceira casa.
  • Dezenos de milésimos (4 casas): ambos têm 7 na quarta casa.
  • Centésimos de milésimos (5 casas): tem 3 e tem 4 → diferente.
Então, até a quarta casa decimal, os números são iguais. Portanto, a aproximação tem 4 casas decimais corretas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro absoluto e o erro relativo para este caso.
  • Erro Absoluto ( ): é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado.
  • Erro Relativo ( ): é o erro absoluto dividido pelo valor exato, geralmente expresso em porcentagem.
Então, o erro absoluto é 0.000011 e o erro relativo é aproximadamente 0.126%.

Passo 4

Agora, vamos para o segundo cenário onde .
Vamos comparar com o valor exato :
Comparando:
  • Milésimos (3 casas): 8 em ambos.
  • Dezenos de milésimos (4 casas): 7 em ambos.
  • Centésimos de milésimos (5 casas): 3 em e 3 em .
  • Milésimos de milésimos (6 casas): 5 em e 8 em → diferente.
Então, a aproximação tem 5 casas decimais corretas.

Passo 5

Vamos calcular o erro absoluto e o erro relativo para este segundo caso.
  • Erro Absoluto ( ):
  • Erro Relativo ( ):
Portanto, o erro absoluto é 0.000003 e o erro relativo é aproximadamente 0.034%.

Passo 6

Agora, vamos para o terceiro cenário onde e .
Primeiro, vamos comparar os números para ver quantas casas decimais estão corretas:
Comparando:
  • Unidades: 32 em ambos.
  • Décimos (1 casa após a vírgula): 6 em e 6 em .
  • Centésimos (2 casas): 3 em e 2 em → diferente.
Então, a aproximação tem 1 casa decimal correta.

Passo 7

Vamos calcular o erro absoluto e o erro relativo para este último caso.
  • Erro Absoluto ( ):
  • Erro Relativo ( ):
Então, o erro absoluto é 0.016 e o erro relativo é aproximadamente 0.049%.

Resposta

Resumindo:
  1. Para e :
    • Casas decimais corretas: 4
    • Erro absoluto: 0.000011
    • Erro relativo: ~0.126%
  2. Para e :
    • Casas decimais corretas: 5
    • Erro absoluto: 0.000003
    • Erro relativo: ~0.034%
  3. Para e :
    • Casas decimais corretas: 1
    • Erro absoluto: 0.016
    • Erro relativo: ~0.049%

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