Sejam
o valor exato e
uma aproximação para
. Quantas casas decimais corretas tem
? Se
, então quantas casas decimais corretas tem
? Considere agora
e
e verifique quantas casas decimais corretas há em
. Calcule, em cada caso, o erro absoluto e o erro relativo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente comparar valores exatos e aproximações para ver quantas casas decimais estão corretas em cada caso. Além disso, vamos calcular o erro absoluto e o erro relativo dessas aproximações. Para isso, vamos precisar saber como comparar números decimais e como calcular esses tipos de erro.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o caso em que
é o valor exato e
é a aproximação. Para descobrir quantas casas decimais estão corretas, vamos comparar os números dígito a dígito:
Comparando:
- Milésimos (3 casas após a vírgula): ambos têm 8 na terceira casa.
- Dezenos de milésimos (4 casas): ambos têm 7 na quarta casa.
- Centésimos de milésimos (5 casas):
tem 3 e tem 4 → diferente.
Então, até a quarta casa decimal, os números são iguais. Portanto, a aproximação
tem 4 casas decimais corretas.
Passo 3
Agora, vamos calcular o erro absoluto e o erro relativo para este caso.
- Erro Absoluto (
): é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado.
- Erro Relativo (
): é o erro absoluto dividido pelo valor exato, geralmente expresso em porcentagem.
Então, o erro absoluto é 0.000011 e o erro relativo é aproximadamente 0.126%.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo cenário onde
.
Vamos comparar com o valor exato
:
Comparando:
- Milésimos (3 casas): 8 em ambos.
- Dezenos de milésimos (4 casas): 7 em ambos.
- Centésimos de milésimos (5 casas): 3 em
e 3 em . - Milésimos de milésimos (6 casas): 5 em
e 8 em → diferente.
Então, a aproximação
tem 5 casas decimais corretas.
Passo 5
Vamos calcular o erro absoluto e o erro relativo para este segundo caso.
- Erro Absoluto (
):
- Erro Relativo (
):
Portanto, o erro absoluto é 0.000003 e o erro relativo é aproximadamente 0.034%.
Passo 6
Agora, vamos para o terceiro cenário onde
e
.
Primeiro, vamos comparar os números para ver quantas casas decimais estão corretas:
Comparando:
- Unidades: 32 em ambos.
- Décimos (1 casa após a vírgula): 6 em
e 6 em . - Centésimos (2 casas): 3 em
e 2 em → diferente.
Então, a aproximação
tem 1 casa decimal correta.
Passo 7
Vamos calcular o erro absoluto e o erro relativo para este último caso.
- Erro Absoluto (
):
- Erro Relativo (
):
Então, o erro absoluto é 0.016 e o erro relativo é aproximadamente 0.049%.
Resposta
Resumindo:
-
Para
e : - Casas decimais corretas: 4
- Erro absoluto: 0.000011
- Erro relativo: ~0.126%
-
Para
e : - Casas decimais corretas: 5
- Erro absoluto: 0.000003
- Erro relativo: ~0.034%
-
Para
e : - Casas decimais corretas: 1
- Erro absoluto: 0.016
- Erro relativo: ~0.049%
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