Usando o algoritmo da divisão mostre que:
(b) O quadrado de um inteiro é da forma 4 k ou 4 k+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para mostrar que o quadrado de qualquer número inteiro é da forma ou . Para isso, vamos usar o algoritmo da divisão, que nos ajuda a dividir qualquer número por 4 e ver os possíveis restos. Isso vai nos ajudar a entender como os quadrados se comportam em relação a 4.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar qualquer número inteiro n = 4q + r . De acordo com o algoritmo da divisão, podemos escrever na forma:
onde é o quociente e é o resto da divisão de por 4. Sabemos que o resto pode ser 0, 1, 2 ou 3, porque são os únicos possíveis restos quando dividimos por 4.

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado de n = 4q para cada um desses casos de resto:
  1. Caso 1: n^2 = (4q)^2 = 16q^2 = 4(4q^2)
    n = 4q + 1
    n^2 = (4q + 1)^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 4(4q^2 + 2q) + 1
    Aqui, n = 4q + 2 é múltiplo de 4, ou seja, da forma n^2 = (4q + 2)^2 = 16q^2 + 16q + 4 = 4(4q^2 + 4q + 1) , onde n = 4q + 3 .
  2. Caso 2: n^2 = (4q + 3)^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 16q^2 + 24q + 8 + 1 = 4(4q^2 + 6q + 2) + 1
    Aqui, é da forma , onde .
  3. Caso 3:
    Aqui, é múltiplo de 4, ou seja, da forma , onde .
  4. Caso 4:
    Aqui, é da forma , onde .

Resposta

Assim, mostramos que, independentemente do valor de , o quadrado sempre será da forma ou .

Exercícios relacionados