Usando o algoritmo da divisão mostre que:
(b) O quadrado de um inteiro é da forma ou .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para mostrar que o quadrado de qualquer número inteiro é da forma ou . Para isso, vamos usar o algoritmo da divisão, que nos ajuda a dividir qualquer número por 4 e ver os possíveis restos. Isso vai nos ajudar a entender como os quadrados se comportam em relação a 4.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar qualquer número inteiro . De acordo com o algoritmo da divisão, podemos escrever na forma:
onde é o quociente e é o resto da divisão de por 4. Sabemos que o resto pode ser 0, 1, 2 ou 3, porque são os únicos possíveis restos quando dividimos por 4.

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado de para cada um desses casos de resto:
  1. Caso 1:
    Aqui, é múltiplo de 4, ou seja, da forma , onde .
  2. Caso 2:
    Aqui, é da forma , onde .
  3. Caso 3:
    Aqui, é múltiplo de 4, ou seja, da forma , onde .
  4. Caso 4:
    Aqui, é da forma , onde .

Resposta

Assim, mostramos que, independentemente do valor de , o quadrado sempre será da forma ou .

Exercícios relacionados

Escreva:
(e) em base 12 .
Escreva:
(a) 1472 em base 5 .
Escreva:
(d) em base 8 .
Sejam e inteiros não nulos. Mostre que
(b) sse .