Usando o algoritmo da divisão mostre que:
(b) O quadrado de um inteiro é da forma
ou
.
(b) O quadrado de um inteiro é da forma
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para mostrar que o quadrado de qualquer número inteiro é da forma
ou
. Para isso, vamos usar o algoritmo da divisão, que nos ajuda a dividir qualquer número por 4 e ver os possíveis restos. Isso vai nos ajudar a entender como os quadrados se comportam em relação a 4.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar qualquer número inteiro
. De acordo com o algoritmo da divisão, podemos escrever
na forma:
onde
é o quociente e
é o resto da divisão de
por 4. Sabemos que o resto
pode ser 0, 1, 2 ou 3, porque são os únicos possíveis restos quando dividimos por 4.
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado de
para cada um desses casos de resto:
-
Caso 1:Aqui,
é múltiplo de 4, ou seja, da forma , onde . -
Caso 2:Aqui,
é da forma , onde . -
Caso 3:Aqui,
é múltiplo de 4, ou seja, da forma , onde . -
Caso 4:Aqui,
é da forma , onde .
Resposta
Assim, mostramos que, independentemente do valor de
, o quadrado
sempre será da forma
ou
.
Exercícios relacionados
Escreva:
(e) em base 12 .
(e)
Escreva:
(a) 1472 em base 5 .
(a) 1472 em base 5 .
Escreva:
(d) em base 8 .
(d)
Sejam
e
inteiros não nulos. Mostre que
(b) sse
.
(b)