Sendo A=(ll2 & 1 1 & 3), qual a solução da equação: X+5 A=A^2+2 I2 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação matricial juntos! O enunciado nos dá a matriz A = 2 & 1 1 & 3 e a equação X + 5A = A^2 + 2I2. Nosso objetivo é encontrar a matriz X. Para isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra linear, especialmente sobre multiplicação de matrizes e a matriz identidade I2.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz A^2. Isso significa multiplicar a matriz A por ela mesma:
A^2 = A times A = 2 & 1 1 & 3 times 2 & 1 1 & 3

Passo 3

Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  • Elemento (1,1): 2 times 2 + 1 times 1 = 4 + 1 = 5
  • Elemento (1,2): 2 times 1 + 1 times 3 = 2 + 3 = 5
  • Elemento (2,1): 1 times 2 + 3 times 1 = 2 + 3 = 5
  • Elemento (2,2): 1 times 1 + 3 times 3 = 1 + 9 = 10
Portanto,
A^2 = 5 & 5 5 & 10

Passo 4

Agora, vamos multiplicar a matriz A por 5:
5A = 5 times 2 & 1 1 & 3 = 10 & 5 5 & 15

Passo 5

A matriz identidade I2 é uma matriz 2 times 2 com 1s na diagonal principal e 0s nas demais posições:
I2 = 1 & 0 0 & 1
Multiplicando por 2:
2I2 = 2 & 0 0 & 2

Passo 6

Agora, substituímos tudo na equação original:
X + 5A = A^2 + 2I2
Já calculamos:
5A = 10 & 5 5 & 15 , A^2 + 2I2 = 5 & 5 5 & 10 + 2 & 0 0 & 2 = 7 & 5 5 & 12
Então:
X + 10 & 5 5 & 15 = 7 & 5 5 & 12

Passo 7

Para encontrar X, basta isolar X na equação. Subtraímos 5A de ambos os lados:
X = 7 & 5 5 & 12 - 10 & 5 5 & 15 = 7-10 & 5-5 5-5 & 12-15 = -3 & 0 0 & -3

Resposta

A solução da equa��ão é a matriz
X = -3 & 0 0 & -3

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