Um sistema de ponto flutuante pode ser expresso pela função
Por exemplo, dado o sistema , o número é representado como . Dados os sistemas de aritmética de ponto flutuante a seguir, represente os números (utilize truncamento), indicando possíveis casos de underflow e overflow.
iv)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente está lidando com sistemas de ponto flutuante, que são uma forma de representar números reais em computadores de maneira eficiente. A função geral desse sistema é dada por , onde:
  • é a base numérica (como base 10 ou base 2).
  • é o número de dígitos na mantissa (a parte que carrega os dígitos significativos do número).
  • e definem o intervalo dos expoentes permitidos.
A questão específica nos apresenta o sistema , que está na base 2 (binária), e pede para representar um número nesse sistema usando truncamento, além de indicar possíveis casos de underflow e overflow. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a representação de números em ponto flutuante, como aplicar o truncamento e identificar quando ocorre underflow (quando o número é muito próximo de zero para ser representado) e overflow (quando o número é muito grande para ser representado).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o sistema . Aqui, estamos trabalhando na base 2, então todos os números serão representados usando apenas 0s e 1s.
  • O primeiro conjunto de dígitos, , representa a mantissa. Como temos 4 bits, a mantissa pode variar de 0000 a 1111.
  • O segundo conjunto, , representa o expoente. Com 2 bits, podemos representar expoentes de 00 a 11.

Passo 3

Agora, vamos definir como interpretar a mantissa e o expoente nesse sistema:
  • Mantissa: Em ponto flutuante, a mantissa geralmente é normalizada, ou seja, tem um valor entre 1 e a base. Em sistema binário, isso significa que a mantissa tem a forma , onde “xxx” são os bits significativos após a vírgula.
  • Expoente: Representa a potência da base que multiplica a mantissa. Com 2 bits, podemos ter expoentes de 0 a 3 (em decimal).

Passo 4

Vamos ver como representar um número específico, por exemplo, , no sistema dado . Porém, note que precisamos converter esse número para a base 2, já que nosso sistema é binário.
No entanto, para simplificar, vamos considerar um número genérico e ver como representá-lo nesse sistema.

Passo 5

Para representar no sistema :
  1. Determinar a mantissa e o expoente:
    • A mantissa será representada pelos 4 bits, e o expoente pelos 2 bits.
  2. Normalizar a mantissa:
    • Garantir que a mantissa está na forma .
  3. Aplicar o truncamento:
    • Se a representação binária tiver mais bits do que o sistema permite, cortamos (truncamos) os bits excedentes.

Passo 6

Vamos dar um exemplo prático. Suponha que queremos representar o número decimal 5 no sistema :
  1. Converter 5 para binário:
  2. Normalizar a mantissa:
  3. Representar no sistema:
    • Mantissa: precisa ser representada com 4 bits: (truncando se necessário).
    • Expoente: em binário com 2 bits: .
Então, seria representado como .

Passo 7

Agora, vamos falar sobre underflow e overflow:
  • Underflow ocorre quando o número é muito pequeno para ser representado no sistema, ou seja, quando o expoente necessário é menor que o mínimo permitido (nesse caso, 00).
  • Overflow acontece quando o número é muito grande para ser representado, exigindo um expoente maior que o máximo permitido (nesse sistema, 11).
Por exemplo:
  • Se tentarmos representar , pode resultar em underflow se a mantissa normalizada exigisse um expoente menor que 00.
  • Se tentarmos representar , pode causar overflow se o expoente necessário fosse maior que 11.

Resposta

Assim, no sistema :
  • Representação de números: Usamos 4 bits para a mantissa e 2 bits para o expoente, aplicando truncamento quando necessário.
  • Underflow: Ocorre quando o número é tão pequeno que não pode ser representado com o expoente disponível.
  • Overflow: Acontece quando o número é tão grande que excede o expoente máximo permitido pelo sistema.

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Um sistema de ponto flutuante pode ser expresso pela função
Por exemplo, dado o sistema , o número é representado como . Dados os sistemas de aritmética de ponto flutuante a seguir, represente os números (utilize truncamento), indicando possíveis casos de underflow e overflow.
v)
Um sistema de ponto flutuante pode ser expresso pela função
Por exemplo, dado o sistema , o número é representado como . Dados os sistemas de aritmética de ponto flutuante a seguir, represente os números (utilize truncamento), indicando possíveis casos de underflow e overflow.
iv)
Seja o sistema de ponto flutuante .
d) Mostre que o número de números de pontos flutuantes possíveis é dado por
Converta para a base binária os seguintes números decimais: