Um sistema de ponto flutuante pode ser expresso pela função
F=F(b, n, e1, e2)
Por exemplo, dado o sistema F(10,3,-4,4), o número x=-279,15 é representado como x=-0,279 times 10^3. Dados os sistemas de aritmética de ponto flutuante a seguir, represente os números (utilize truncamento), indicando possíveis casos de underflow e overflow.
vi) (1,0001)2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me apresentou um exercício sobre sistemas de ponto flutuante, especificamente sobre o sistema (1,0001)2. O conteúdo aqui envolve entender como números são representados em sistemas de ponto flutuante, utilizando a base 2 (binária). Para resolver isso, vamos precisar entender os componentes de um sistema de ponto flutuante, como representar números usando esse sistema e identificar possíveis casos de underflow (quando o número é muito pequeno para ser representado) e overflow (quando o número é muito grande para ser representado).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um sistema de ponto flutuante. Em termos simples, é uma forma de representar números reais que permite uma ampla gama de valores sabendo que a precisão é limitada. Esse sistema é determinado por quatro parâmetros: a base x = pm d1d2d3 times 10^e , o número de dígitos significativos , o menor expoente e o maior expoente .
No exemplo que você deu, representa números na forma:
onde é diferente de zero, e está entre -4 e 4.

Passo 3

Agora, vamos analisar o sistema que você mencionou: (1,0001)2. Aqui, a base é 2 (binária), e o sistema parece ser definido por dois componentes:
  1. Sinal: O primeiro dígito “1” provavelmente representa o bit de sinal. Um bit de sinal indica se o número é positivo ou negativo.
  2. Exponente: Os quatro bits seguintes “0001” representam o expoente.
Portanto, os parâmetros do sistema são:
  • Base : 2
  • Número de dígitos significativos : 1 (apenas o bit de sinal)
  • Faixa de exponente: Isso depende da interpretação dos bits “0001”. Se considerarmos um exponente de 4 bits sem sinal, a faixa seria de 0 a 15. Mas geralmente, sistemas de ponto flutuante usam representação com sinal para o expoente, então a faixa pode ser ajustada para, por exemplo, -8 a 7.

Passo 4

Para representar um número nesse sistema, usamos a seguinte forma:
x = pm 1d times 2^e
onde:
  • O primeiro bit indica o sinal ( 5.7510 = 101.112 ),
  • 101.112 = 1.01112 times 2^2 é a mantissa normalizada (sempre começando com 1 na base 2),
  • 1.0 times 2^2 é o expoente representado pelos 4 bits.
Vamos usar truncamento para ajustar a mantissa ao número de dígitos disponíveis. Truncamento significa cortar os dígitos que excedem a precisão sem arredondar.
Exemplo: Representar o número 5.75
  1. Converter para binário: x = +1.0 times 2^2
  2. Normalizar:
  3. Truncar a mantissa (apenas 1 bit após o ponto, já que ):
  4. Representação final:

Passo 5

Agora, vamos falar sobre underflow e overflow:
  • Overflow ocorre quando o número que queremos representar excede o maior valor permitido pelo sistema. Com um expoente máximo de, por exemplo, 7, qualquer número que precise de um expoente maior causaria overflow.
    Exemplo: Tentar representar causaria overflow porque 10 > 7.
  • Underflow acontece quando o número é tão pequeno que o menor expoente permitido não consegue representá-lo, tornando-o efetivamente zero no sistema.
    Exemplo: Tentar representar causaria underflow porque -10 < -8.

Resposta

Então, no sistema de ponto flutuante (1,0001)2:
  • Representação de 5.75:
  • Overflow: Ocorre se tentarmos representar números maiores que
  • Underflow: Ocorre se tentarmos representar números menores que

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