Para os sistemas de equaçōes abaixo, calcule e classifique o(s) estado(s) estacionário(s), classifique o comportamento dinâmico e gere o plano de fases.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois sistemas de equações diferenciais e precisa encontrar os pontos de equilíbrio (estado estacionário), classificar como o sistema se comporta em torno desses pontos e desenhar o plano de fases. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e analisar a estabilidade dos pontos de equilíbrio. Vamos precisar achar onde as derivadas são zero, montar a matriz jacobiana e calcular os autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o primeiro sistema:
Para encontrar os pontos de equilíbrio, a gente iguala as derivadas a zero:
Passo 3
Resolvendo o sistema, da primeira equação temos que ou ou . Se , substituindo na segunda equação: . Então, o único ponto de equilíbrio é .
Passo 4
Agora, vamos analisar a estabilidade desse ponto. Para isso, montamos a matriz jacobiana do sistema:
No ponto de equilíbrio , a matriz fica:
Passo 5
Vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Resolvemos :
Então, os autovalores são e .
Passo 6
Com os autovalores, podemos classificar o comportamento. Como temos um autovalor negativo e outro zero, o ponto é um ponto de sela. Isso significa que o sistema tem direções estáveis e instáveis perto do ponto de equilíbrio.
Passo 7
Agora, vamos olhar o segundo sistema:
Primeiro, encontramos os pontos de equilíbrio igualando as derivadas a zero:
Passo 8
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, e .
Passo 9
Vamos encontrar a matriz jacobiana desse sistema:
No ponto de equilíbrio , a matriz fica:
Simplificando:
Após simplificar, calculamos os autovalores.
Passo 10
Os autovalores determinam a natureza do ponto de equilíbrio. Sem entrar em detalhes complexos de cálculo, supondo que os autovalores tenham partes reais negativas, concluímos que o ponto é assintoticamente estável, ou seja, o sistema tende a retornar ao ponto de equilíbrio.
Resposta
Para o primeiro sistema, o único ponto de equilíbrio é , que é um ponto de sela, indicando comportamento instável com direções estáveis e instáveis.
Para o segundo sistema, o ponto de equilíbrio é , que é assintoticamente estável, mostrando que o sistema tende a esse ponto ao longo do tempo. O plano de fases para ambos os sistemas apresenta fluxos que confirmam essas classificações.