Suponha que a constante de decaimento dependa do tempo segundo a lei
, e que a lei do decaimento siga a mesma proporção. Obtenha e analise a solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma constante de decaimento que muda com o tempo, seguindo a lei
. Nosso objetivo é encontrar a solução dessa lei de decaimento e entender o que ela significa. Para isso, vamos usar o conceito de equação diferencial de decaimento e integrar essa expressão para encontrar a quantidade que está decaindo ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o decaimento em geral. A quantidade de algo que está decaindo, como um isótopo radioativo, segue a equação diferencial:
Aqui,
é a quantidade no tempo
, e
é a constante de decaimento que, no nosso caso, varia com o tempo.
Passo 3
Substituímos
pela expressão dada na questão:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver usando métodos de separação de variáveis.
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
.
Passo 5
Integrando os dois lados:
A integral do lado esquerdo é
, e a do lado direito envolve o logaritmo natural.
Passo 6
Realizando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
, exponenciamos ambos os lados:
Podemos chamar
de
, que representa a quantidade inicial no tempo
.
Passo 8
Então, a solução geral fica:
Isso nos mostra como a quantidade decai ao longo do tempo com a constante de decaimento variável.
Resposta
A solução do decaimento é dada por:
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