Suponha que a constante de decaimento dependa do tempo segundo a lei , e que a lei do decaimento siga a mesma proporção. Obtenha e analise a solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma constante de decaimento que muda com o tempo, seguindo a lei . Nosso objetivo é encontrar a solução dessa lei de decaimento e entender o que ela significa. Para isso, vamos usar o conceito de equação diferencial de decaimento e integrar essa expressão para encontrar a quantidade que está decaindo ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o decaimento em geral. A quantidade de algo que está decaindo, como um isótopo radioativo, segue a equação diferencial:
Aqui, é a quantidade no tempo , e é a constante de decaimento que, no nosso caso, varia com o tempo.

Passo 3

Substituímos pela expressão dada na questão:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver usando métodos de separação de variáveis.

Passo 4

Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos ambos os lados para encontrar .

Passo 5

Integrando os dois lados:
A integral do lado esquerdo é , e a do lado direito envolve o logaritmo natural.

Passo 6

Realizando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para , exponenciamos ambos os lados:
Podemos chamar de , que representa a quantidade inicial no tempo .

Passo 8

Então, a solução geral fica:
Isso nos mostra como a quantidade decai ao longo do tempo com a constante de decaimento variável.

Resposta

A solução do decaimento é dada por:

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