Suponha que a constante de decaimento dependa do tempo segundo a lei lambda(t)=lambda0a t+b, e que a lei do decaimento siga a mesma proporção. Obtenha e analise a solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma constante de decaimento que muda com o tempo, seguindo a lei lambda(t)=lambda0a t+b. Nosso objetivo é encontrar a solução dessa lei de decaimento e entender o que ela significa. Para isso, vamos usar o conceito de equação diferencial de decaimento e integrar essa expressão para encontrar a quantidade que está decaindo ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o decaimento em geral. A quantidade de algo que está decaindo, como um isótopo radioativo, segue a equação diferencial:
dNdt = -lambda(t) N(t)
Aqui, N(t) é a quantidade no tempo t, e lambda(t) é a constante de decaimento que, no nosso caso, varia com o tempo.

Passo 3

Substituímos lambda(t) pela expressão dada na questão:
dNdt = -lambda0a t + b N(t)
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver usando métodos de separação de variáveis.

Passo 4

Vamos separar as variáveis N e t:
dNN = -lambda0a t + b dt
Agora, integramos ambos os lados para encontrar N(t).

Passo 5

Integrando os dois lados:
integral 1N dN = -lambda0 integral 1a t + b dt
A integral do lado esquerdo é ln|N|, e a do lado direito envolve o logaritmo natural.

Passo 6

Realizando as integrais:
ln|N| = -lambda0 cdot 1a ln|a t + b| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para N(t), exponenciamos ambos os lados:
N(t) = e^C cdot (a t + b)^-lambda0a
Podemos chamar e^C de N0, que representa a quantidade inicial no tempo t=0.

Passo 8

Então, a solução geral fica:
N(t) = N0 cdot (a t + b)^-lambda0a
Isso nos mostra como a quantidade decai ao longo do tempo com a constante de decaimento variável.

Resposta

A solução do decaimento é dada por:
N(t) = N0 cdot (a t + b)^-lambda0a

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