Suponha que dois pontos e estejam em uma reta, com . Há duas maneiras disponíveis para determinar a intersecção da reta com o eixo , a saber:
(a) Mostre que ambas as fórmulas são algebricamente corretas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente mostrar que duas fórmulas diferentes para encontrar a intersecção de uma reta com o eixo estão certinhas. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre equações de retas e interseções com os eixos. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como achar a equação da reta que passa por dois pontos e depois encontrar onde ela cruza o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma reta que passa pelos pontos e pode ser escrita na forma de ponto-inclinação:
Onde é o coeficiente angular (a inclinação da reta). Para encontrar , usamos a fórmula:

Passo 3

Agora que temos a inclinação , substituímos de volta na equação da reta:
Essa é a equação geral da reta que passa pelos dois pontos.

Passo 4

Queremos achar a intersecção dessa reta com o eixo . No eixo , a coordenada é zero. Então, vamos substituir na equação da reta e resolver para :

Passo 5

Simplificando a equação:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 6

Distribuindo os termos:
Rearranjando para isolar :
Fatorando :

Passo 7

Finalmente, isolamos :
Essa é a primeira fórmula que o enunciado nos deu.

Passo 8

Agora, vamos mostrar a segunda fórmula. Começamos de novo com a equação da reta:
Substituímos :
Resolvendo para :
Essa é a segunda fórmula apresentada no exercício.

Resposta

Mostramos que ambas as fórmulas e estão corretas para encontrar a intersecção da reta com o eixo .

Exercícios relacionados

Temos a vívida lembrança que as raízes da equação de segundo grau quando são
Considere a equação , cujas raízes são aproximadamente
(a) Usando as fórmulas dadas em (1), usando a aritmética de arredondamento com quatro algarismos, obtenha uma aproximação das raízes da equação dada.
O valor de com dezesseis casas decimais de precisão é 0,0050314187. Deste modo, calcule o valor de com dez casas decimais de precisão:
(a) pelo método usual;
Converta os seguintes números decimais para sua forma binária
(d)
Temos a vívida lembrança que as raízes da equação de segundo grau quando são
Considere a equação , cujas raízes são aproximadamente
(b) Calcule os erros relativos das raízes e obtidas no item (a). Qual destas raízes teve grande erro relativo?