Suponha que dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) estejam em uma reta, com y1 neq y0. Há duas maneiras disponíveis para determinar a intersecção da reta com o eixo x, a saber:
x=x0 y1-x1 y0y1-y0 e x=x0-(x1-x0) y0y1-y0
(a) Mostre que ambas as fórmulas são algebricamente corretas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente mostrar que duas fórmulas diferentes para encontrar a intersecção de uma reta com o eixo estão certinhas. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre equações de retas e interseções com os eixos. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como achar a equação da reta que passa por dois pontos e depois encontrar onde ela cruza o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma reta que passa pelos pontos y - y0 = m(x - x0) e m = y1 - y0x1 - x0 pode ser escrita na forma de ponto-inclinação:
Onde é o coeficiente angular (a inclinação da reta). Para encontrar , usamos a fórmula:

Passo 3

Agora que temos a inclinação y - y0 = y1 - y0x1 - x0(x - x0) , substituímos de volta na equação da reta:
Essa é a equação geral da reta que passa pelos dois pontos.

Passo 4

Queremos achar a intersecção dessa reta com o eixo 0 - y0 = y1 - y0x1 - x0(x - x0) . No eixo , a coordenada é zero. Então, vamos substituir na equação da reta e resolver para :

Passo 5

Simplificando a equação:
- y0 = y1 - y0x1 - x0(x - x0)
Multiplicamos ambos os lados por - y0 (x1 - x0) = (y1 - y0)(x - x0) para eliminar o denominador:

Passo 6

Distribuindo os termos:
- y0 x1 + y0 x0 = y1 x - y1 x0 - y0 x + y0 x0
Rearranjando para isolar y1 x - y0 x = y0 x0 - y0 x1 :
x(y1 - y0) = y0 x0 - y0 x1
Fatorando :

Passo 7

Finalmente, isolamos x = y0 x0 - y0 x1y1 - y0 = x0 y0 - x1 y0y1 - y0 = x0 y1 - x1 y0y1 - y0 :
Essa é a primeira fórmula que o enunciado nos deu.

Passo 8

Agora, vamos mostrar a segunda fórmula. Começamos de novo com a equação da reta:
y - y0 = y1 - y0x1 - x0(x - x0)
Substituímos - y0 = y1 - y0x1 - x0(x - x0) :
x - x0 = - y0 (x1 - x0)y1 - y0
Resolvendo para x = x0 - (x1 - x0) y0y1 - y0 :
Essa é a segunda fórmula apresentada no exercício.

Resposta

Mostramos que ambas as fórmulas e estão corretas para encontrar a intersecção da reta com o eixo .

Exercícios relacionados