Suponha que dois pontos
e
estejam em uma reta, com
. Há duas maneiras disponíveis para determinar a intersecção da reta com o eixo
, a saber:
(a) Mostre que ambas as fórmulas são algebricamente corretas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente mostrar que duas fórmulas diferentes para encontrar a intersecção de uma reta com o eixo
estão certinhas. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre equações de retas e interseções com os eixos. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como achar a equação da reta que passa por dois pontos e depois encontrar onde ela cruza o eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma reta que passa pelos pontos
e
pode ser escrita na forma de ponto-inclinação:
Onde
é o coeficiente angular (a inclinação da reta). Para encontrar
, usamos a fórmula:
Passo 3
Agora que temos a inclinação
, substituímos de volta na equação da reta:
Essa é a equação geral da reta que passa pelos dois pontos.
Passo 4
Queremos achar a intersecção dessa reta com o eixo
. No eixo
, a coordenada
é zero. Então, vamos substituir
na equação da reta e resolver para
:
Passo 5
Simplificando a equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Distribuindo os termos:
Rearranjando para isolar
:
Fatorando
:
Passo 7
Finalmente, isolamos
:
Essa é a primeira fórmula que o enunciado nos deu.
Passo 8
Agora, vamos mostrar a segunda fórmula. Começamos de novo com a equação da reta:
Substituímos
:
Resolvendo para
:
Essa é a segunda fórmula apresentada no exercício.
Resposta
Mostramos que ambas as fórmulas
e
estão corretas para encontrar a intersecção da reta com o eixo
.