O valor de com dezesseis casas decimais de precisão é 0,0050314187. Deste modo, calcule o valor de com dez casas decimais de precisão:
(a) pelo método usual;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular a diferença entre as raízes quadradas de 9876 e 9875, ou seja, , mas com apenas dez casas decimais de precisão. Para resolver isso, vamos usar métodos de aproximação que envolvem um pouco de álgebra e cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma forma útil de lidar com a diferença de raízes quadradas. Sabemos que:
Isso nos ajuda porque transforma a diferença de raízes em uma fração que pode ser mais fácil de calcular.

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso problema:
Agora, precisamos calcular o denominador, que é a soma das duas raízes quadradas.

Passo 4

Vamos estimar as raízes quadradas:
  • está próximo de , mas um pouco menor.
  • Usando uma aproximação linear, podemos dizer que
  • Similarmente,

Passo 5

Somando as duas aproximações:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na nossa fração:

Resposta

Portanto, o valor de com dez casas decimais de precisão é aproximadamente 0,0050314187.

Exercícios relacionados

Maria Clara ficou encarregada da organização de um evento, para tanto comprou uma calculadora para auxiliála. No início do trabalho havia 67 pessoas para colocá-las em fila, logo em seguida chegaram mais 5, Maria Clara utilizou sua calculadora nova para determinar de quantas maneiras diferentes era possível organizar essas pessoas em fila, na primeira e na segunda situação. Quais foram os resultados? Justifique sua resposta?
Efetue os cálculos abaixo (i) exatamente, (ii) usando aritmética de truncamento, com três algarismos, (iii) usando aritmética de arredondamento com três algarismos e, (iv) calcule o erro relativo nas partes (ii) e (iii).
(d)
Temos a vívida lembrança que as raízes da equação de segundo grau quando são
Considere a equação , cujas raízes são aproximadamente
(a) Usando as fórmulas dadas em (1), usando a aritmética de arredondamento com quatro algarismos, obtenha uma aproximação das raízes da equação dada.
Suponha que dois pontos e estejam em uma reta, com . Há duas maneiras disponíveis para determinar a intersecção da reta com o eixo , a saber:
(a) Mostre que ambas as fórmulas são algebricamente corretas.