Suponha que uma fonte fria disponível está a
. Se quisermos uma máquina térmica com rendimento de pelo menos 90%, qual deve ser a temperatura mínima da fonte quente para atingir esse rendimento? Qual seriam as limitações de operação dessa máquina térmica?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente tem uma fonte fria a
e quer montar uma máquina térmica que seja bem eficiente, com pelo menos 90% de rendimento. Nosso objetivo é descobrir qual precisa ser a temperatura mínima da fonte quente para alcançar esse rendimento e entender quais são as limitações dessa máquina. Vamos precisar usar os conceitos de rendimento de máquinas térmicas e a fórmula do rendimento de Carnot.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcula o rendimento de uma máquina térmica ideal, que é dado pela eficiência de Carnot. A fórmula é:
Onde:
-
é o rendimento da máquina. -
é a temperatura da fonte fria. -
é a temperatura da fonte quente.
Passo 3
Nossa missão é encontrar a temperatura mínima da fonte quente
que nos dá um rendimento de pelo menos 90%, ou seja,
. Vamos substituir os valores na fórmula:
Sabendo que a temperatura da fonte fria
é
, precisamos converter para Kelvin, porque nas equações termodinâmicas usamos Kelvin. A conversão é:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos os valores na equação do rendimento:
Vamos isolar
para encontrar a temperatura mínima necessária:
Passo 5
Então, a temperatura mínima da fonte quente precisa ser de
para que a máquina térmica tenha um rendimento de pelo menos 90%.
Passo 6
Agora, sobre as limitações de operação dessa máquina térmica:
-
Desafios Práticos: Alcançar uma temperatura de
é extremamente difícil na prática. Materiais comuns não conseguem suportar tais altas temperaturas sem se degradarem. -
Perdas Reais: A eficiência de Carnot é ideal e não considera perdas reais como atrito, condução de calor imperfeita, entre outras. Na prática, a eficiência seria menor.
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Custos Elevados: Sistemas capazes de operar a essas temperaturas exigem tecnologias avançadas e materiais caros, tornando a máquina menos viável economicamente.
-
Segurança: Operar a altas temperaturas aumenta riscos de acidentes e requer medidas de segurança rigorosas.
Resposta
A temperatura mínima da fonte quente precisa ser de
para que a máquina térmica alcance um rendimento de pelo menos 90%. As limitações de operação incluem desafios práticos de atingir e manter essa alta temperatura, perdas de eficiência em condições reais, custos elevados de materiais e tecnologias necessárias, além de maiores riscos de segurança.