Suponha que uma fonte fria disponível está a 10^circ C. Se quisermos uma máquina térmica com rendimento de pelo menos 90%, qual deve ser a temperatura mínima da fonte quente para atingir esse rendimento? Qual seriam as limitações de operação dessa máquina térmica?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente tem uma fonte fria a 10^circ C e quer montar uma máquina térmica que seja bem eficiente, com pelo menos 90% de rendimento. Nosso objetivo é descobrir qual precisa ser a temperatura mínima da fonte quente para alcançar esse rendimento e entender quais são as limitações dessa máquina. Vamos precisar usar os conceitos de rendimento de máquinas térmicas e a fórmula do rendimento de Carnot.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcula o rendimento de uma máquina térmica ideal, que é dado pela eficiência de Carnot. A fórmula é:
eta = 1 - TCTH
Onde:
  • eta é o rendimento da máquina.
  • TC é a temperatura da fonte fria.
  • TH é a temperatura da fonte quente.

Passo 3

Nossa missão é encontrar a temperatura mínima da fonte quente TH que nos dá um rendimento de pelo menos 90%, ou seja, eta >= 0,9. Vamos substituir os valores na fórmula:
0,9 = 1 - TCTH
Sabendo que a temperatura da fonte fria TC é 10^circ C, precisamos converter para Kelvin, porque nas equações termodinâmicas usamos Kelvin. A conversão é:
T(K) = T(°C) + 273
Então,
TC = 10 + 273 = 283, K

Passo 4

Agora, substituímos os valores na equação do rendimento:
0,9 = 1 - 283TH
Vamos isolar TH para encontrar a temperatura mínima necessária:
283TH = 1 - 0,9
283TH = 0,1
TH = 2830,1 = 2830, K

Passo 5

Então, a temperatura mínima da fonte quente precisa ser de 2830, K para que a máquina térmica tenha um rendimento de pelo menos 90%.

Passo 6

Agora, sobre as limitações de operação dessa máquina térmica:
  1. Desafios Práticos: Alcançar uma temperatura de 2830, K é extremamente difícil na prática. Materiais comuns não conseguem suportar tais altas temperaturas sem se degradarem.
  2. Perdas Reais: A eficiência de Carnot é ideal e não considera perdas reais como atrito, condução de calor imperfeita, entre outras. Na prática, a eficiência seria menor.
  3. Custos Elevados: Sistemas capazes de operar a essas temperaturas exigem tecnologias avançadas e materiais caros, tornando a máquina menos viável economicamente.
  4. Segurança: Operar a altas temperaturas aumenta riscos de acidentes e requer medidas de segurança rigorosas.

Resposta

A temperatura mínima da fonte quente precisa ser de 2830, K para que a máquina térmica alcance um rendimento de pelo menos 90%. As limitações de operação incluem desafios práticos de atingir e manter essa alta temperatura, perdas de eficiência em condições reais, custos elevados de materiais e tecnologias necessárias, além de maiores riscos de segurança.

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