Um tanque de 8 m^3 de capacidade, contendo um líquido, é esvaziado à uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início ( t=0 ), o tanque contém 750 kg de líquido e a taxa de retirada é 750 kg / h. Passadas 5 horas, a taxa de retirada foi determinada como sendo 1000 kg / h. O tanque é constantemente alimentado com A (reposição), à taxa de 1500 kg / h. Dado: =1080 liq rho kg / m^3.
c) Após 5 horas, quanto de líquido resta no tanque? ( 0,34 ponto)

Passo 1

Beleza! Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um tanque com capacidade de 8 , m^3 que contém inicialmente 750 , kg de líquido. Esse tanque está sendo esvaziado a uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início ( t=0), a taxa de retirada é de 750 , kg/h e após 5 horas essa taxa aumenta para 1000 , kg/h. Além disso, o tanque está sendo constantemente alimentado com o líquido à taxa de 1500 , kg/h. Também sabemos que a densidade do líquido é rho = 1080 , kg/m^3. Nosso objetivo é descobrir quanto de líquido resta no tanque após 5 horas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a taxa de retirada varia com o tempo e calcular o saldo líquido de entrada e saída de massa no tanque.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a taxa de retirada do líquido varia com o tempo. Sabemos que a taxa de retirada aumenta linearmente. Isso significa que podemos expressar a taxa de retirada R(t) como uma função linear:
R(t) = R0 + kt
Onde:
  • R0 é a taxa de retirada inicial ( 750 , kg/h)
  • k é a taxa de variação da retirada por hora
  • t é o tempo em horas
Sabemos que após 5 horas, a taxa de retirada é 1000 , kg/h. Vamos usar essa informação para encontrar o valor de k.

Passo 3

Vamos substituir os valores na equação da taxa de retirada para encontrar k:
1000 = 750 + k times 5
Resolvendo para k:
1000 - 750 = 5k 250 = 5k k = 2505 k = 50 , kg/h^2
Então, a taxa de retirada é:
R(t) = 750 + 50t

Passo 4

Agora, vamos calcular a quantidade total de líquido que foi retirada do tanque durante as 5 horas. Para isso, precisamos integrar a função R(t) de t=0 a t=5:
Total retirada = integral0^5 R(t) , dt = integral0^5 (750 + 50t) , dt
Vamos calcular essa integral:
integral (750 + 50t) , dt = 750t + 502t^2 = 750t + 25t^2
Avaliando de 0 a 5:
Total retirada = [750 times 5 + 25 times 5^2] - [750 times 0 + 25 times 0^2] = 3750 + 625 = 4375 , kg

Passo 5

Paralelamente à retirada, o tanque está sendo alimentado constantemente à taxa de 1500 , kg/h. Então, a quantidade total de líquido adicionada em 5 horas é:
Total adicionada = 1500 times 5 = 7500 , kg

Passo 6

Agora, vamos calcular o saldo líquido de massa no tanque após 5 horas. Isso é dado pela quantidade adicionada menos a quantidade retirada:
Saldo líquido = Total adicionada - Total retirada = 7500 , kg - 4375 , kg = 3125 , kg í

Passo 7

Por fim, para descobrir quanto de líquido resta no tanque após 5 horas, precisamos somar o saldo líquido à massa inicial presente no tanque:
Massa final = Massa inicial + Saldo líquido = 750 , kg + 3125 , kg = 3875 , kg í

Resposta

Após 5 horas, resta no tanque 3875 kg de líquido.

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