Um tanque de
de capacidade, contendo um líquido, é esvaziado à uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início (
), o tanque contém 750 kg de líquido e a taxa de retirada é
. Passadas 5 horas, a taxa de retirada foi determinada como sendo
. O tanque é constantemente alimentado com A (reposição), à taxa de
. Dado:
.
c) Após 5 horas, quanto de líquido resta no tanque? ( 0,34 ponto)
c) Após 5 horas, quanto de líquido resta no tanque? ( 0,34 ponto)
Passo 1
Beleza! Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um tanque com capacidade de
que contém inicialmente
de líquido. Esse tanque está sendo esvaziado a uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início (
), a taxa de retirada é de
e após 5 horas essa taxa aumenta para
. Além disso, o tanque está sendo constantemente alimentado com o líquido à taxa de
. Também sabemos que a densidade do líquido é
. Nosso objetivo é descobrir quanto de líquido resta no tanque após 5 horas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a taxa de retirada varia com o tempo e calcular o saldo líquido de entrada e saída de massa no tanque.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a taxa de retirada do líquido varia com o tempo. Sabemos que a taxa de retirada aumenta linearmente. Isso significa que podemos expressar a taxa de retirada
como uma função linear:
Onde:
-
é a taxa de retirada inicial ( ) -
é a taxa de variação da retirada por hora -
é o tempo em horas
Sabemos que após 5 horas, a taxa de retirada é
. Vamos usar essa informação para encontrar o valor de
.
Passo 3
Vamos substituir os valores na equação da taxa de retirada para encontrar
:
Resolvendo para
:
Então, a taxa de retirada é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a quantidade total de líquido que foi retirada do tanque durante as 5 horas. Para isso, precisamos integrar a função
de
a
:
Vamos calcular essa integral:
Avaliando de 0 a 5:
Passo 5
Paralelamente à retirada, o tanque está sendo alimentado constantemente à taxa de
. Então, a quantidade total de líquido adicionada em 5 horas é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o saldo líquido de massa no tanque após 5 horas. Isso é dado pela quantidade adicionada menos a quantidade retirada:
Passo 7
Por fim, para descobrir quanto de líquido resta no tanque após 5 horas, precisamos somar o saldo líquido à massa inicial presente no tanque:
Resposta
Após 5 horas, resta no tanque 3875 kg de líquido.