Um tanque de 8 m^3 de capacidade, contendo um líquido, é esvaziado à uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início ( t=0 ), o tanque contém 750 kg de líquido e a taxa de retirada é 750 kg / h. Passadas 5 horas, a taxa de retirada foi determinada como sendo 1000 kg / h. O tanque é constantemente alimentado com A (reposição), à taxa de 1500 kg / h. Dado: =1080 liq rho kg / m^3.
d) Quanto tempo leva para que o nível do tanque alcance seu valor máximo? ( 0,33 ponto)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um tanque que pode segurar até 8 metros cúbicos de líquido. No começo (quando o tempo t é 0), tem 750 kg de líquido dentro e a gente está retirando esse líquido a uma taxa de 750 kg por hora. Depois de 5 horas, a taxa de retirada aumenta para 1000 kg por hora, e essa taxa de retirada está aumentando de forma linear com o tempo. Além disso, estamos sempre colocando mais líquido no tanque a uma taxa constante de 1500 kg por hora. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para o nível do tanque chegar no seu ponto máximo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de taxas de variação e entender como as taxas de entrada e saída do líquido se comportam com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a taxa de retirada do líquido está mudando com o tempo. A taxa de retirada aumenta linearmente, ou seja, ela depende de uma função do tipo $ R(t) = at + b $, onde $ a $ é a inclinação e $ b $ é a taxa inicial.

Passo 3

Sabemos que no início, quando $ t = 0 $, a taxa de retirada $ R(0) = 750 $ kg/h. E após 5 horas, $ R(5) = 1000 $ kg/h. Vamos usar essas informações para encontrar $ a $ e $ b $.

Passo 4

Usando $ R(0) = 750 $, temos:
R(0) = 750
E usando $ R(5) = 1000 $:
750 = a cdot 0 + b Rightarrow b = 750
Então, a taxa de retirada é $ R(t) = 50t + 750 $ kg/h.

Passo 5

Agora, vamos considerar a taxa de entrada, que é constante:
E = 1500 kg/h
Para encontrar o tempo em que o nível do tanque atinge o máximo, precisamos encontrar quando a taxa de entrada iguala a taxa de saída, ou seja, quando:
E = R(t)
Substituindo os valores:
1500 = 50t + 750

Passo 6

Resolvendo a equação para $ t $:
t

Resposta

O nível do tanque atinge seu valor máximo após 15 horas.

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