Um tanque de
de capacidade, contendo um líquido, é esvaziado à uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início (
), o tanque contém 750 kg de líquido e a taxa de retirada é
. Passadas 5 horas, a taxa de retirada foi determinada como sendo
. O tanque é constantemente alimentado com A (reposição), à taxa de
. Dado:
.
d) Quanto tempo leva para que o nível do tanque alcance seu valor máximo? ( 0,33 ponto)
d) Quanto tempo leva para que o nível do tanque alcance seu valor máximo? ( 0,33 ponto)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um tanque que pode segurar até 8 metros cúbicos de líquido. No começo (quando o tempo t é 0), tem 750 kg de líquido dentro e a gente está retirando esse líquido a uma taxa de 750 kg por hora. Depois de 5 horas, a taxa de retirada aumenta para 1000 kg por hora, e essa taxa de retirada está aumentando de forma linear com o tempo. Além disso, estamos sempre colocando mais líquido no tanque a uma taxa constante de 1500 kg por hora. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para o nível do tanque chegar no seu ponto máximo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de taxas de variação e entender como as taxas de entrada e saída do líquido se comportam com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a taxa de retirada do líquido está mudando com o tempo. A taxa de retirada aumenta linearmente, ou seja, ela depende de uma função do tipo $ R(t) = at + b $, onde $ a $ é a inclinação e $ b $ é a taxa inicial.
Passo 3
Sabemos que no início, quando $ t = 0 $, a taxa de retirada $ R(0) = 750 $ kg/h. E após 5 horas, $ R(5) = 1000 $ kg/h. Vamos usar essas informações para encontrar $ a $ e $ b $.
Passo 4
Usando $ R(0) = 750 $, temos:
E usando $ R(5) = 1000 $:
Então, a taxa de retirada é $ R(t) = 50t + 750 $ kg/h.
Passo 5
Agora, vamos considerar a taxa de entrada, que é constante:
Para encontrar o tempo em que o nível do tanque atinge o máximo, precisamos encontrar quando a taxa de entrada iguala a taxa de saída, ou seja, quando:
Substituindo os valores:
Passo 6
Resolvendo a equação para $ t $:
Resposta
O nível do tanque atinge seu valor máximo após 15 horas.