Um tanque de 8 m^3 de capacidade, contendo um líquido, é esvaziado à uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início ( t=0 ), o tanque contém 750 kg de líquido e a taxa de retirada é 750 kg / h. Passadas 5 horas, a taxa de retirada foi determinada como sendo 1000 kg / h. O tanque é constantemente alimentado com A (reposição), à taxa de 1500 kg / h. Dado: =1080 liq rho kg / m^3.
a) Escreva uma expressão para a taxa de retirada de líquido do tanque, ms(t) [kg / h]. ( 0,5 ponto)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos um tanque com capacidade de 8, m^3 que está sendo esvaziado a uma taxa que aumenta de forma linear com o tempo. No início ( t = 0), o tanque contém 750, kg de líquido, e a taxa de retirada é 750, kg/h. Após 5 horas, essa taxa aumenta para 1000, kg/h. Além disso, o tanque está sendo constantemente alimentado com reposição à taxa de 1500, kg/h. Queremos escrever uma expressão para a taxa de retirada de líquido do tanque, ms(t), em função do tempo t (em horas).
Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as funções lineares, já que a taxa de retirada está aumentando de forma linear com o tempo. Vamos identificar os pontos que temos e usar a equação da reta para encontrar a expressão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a taxa de retirada ms(t) é uma função linear do tempo t. A forma geral de uma função linear é:
ms(t) = mt + b
Onde:
  • m é a inclinação da reta (a taxa de variação de ms(t) em relação a t)
  • b é o valor de ms(t) quando t = 0 (intercepto y)
No nosso caso, sabemos que:
  • Quando t = 0, ms(t) = 750, kg/h
  • Quando t = 5 horas, ms(t) = 1000, kg/h

Passo 3

Vamos usar esses dois pontos para encontrar os valores de m e b.
Primeiro, sabemos que quando t = 0:
ms(0) = m cdot 0 + b = 750, kg/h
Isso nos mostra que b = 750, kg/h.

Passo 4

Agora, usamos o segundo ponto para encontrar m. Sabemos que quando t = 5:
ms(5) = m cdot 5 + 750 = 1000, kg/h
Vamos resolver para m:
5m + 750 = 1000
5m = 1000 - 750
5m = 250
m = 2505 = 50, kg/h^2

Passo 5

Com os valores de m e b encontrados, podemos escrever a expressão completa para ms(t):
ms(t) = 50t + 750

Resposta

A expressão para a taxa de retirada de líquido do tanque é:
ms(t) = 50, t + 750 [kg/h]

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