Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(a) .
Solução exata: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema que temos é usar o método de Euler modificado para aproximar a solução da equação diferencial dada:
A gente vai precisar entender o que é o método de Euler modificado, aplicar ele passo a passo com o tamanho do passo , e depois comparar os resultados com a solução exata fornecida:

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Euler modificado. É uma técnica numérica para resolver equações diferenciais ordinárias. Diferente do método de Euler simples, que usa apenas a inclinação no começo do intervalo, o Euler modificado também usa a inclinação no final do intervalo para melhorar a precisão.
A fórmula geral fica assim:
Onde:
  • é a aproximação de no ponto .
  • é o tamanho do passo.
  • é a função que define a equação diferencial .

Passo 3

Vamos começar aplicando o método para o primeiro intervalo, de até .
Dados iniciais:
Primeiro, calculamos :
Agora, estimamos no final do intervalo usando a inclinação inicial:
ã

Passo 4

Em seguida, calculamos ã:
ãã
Vamos calcular numérico:
ã

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do Euler modificado para encontrar :
ã
Então, a aproximação em é .

Passo 6

Agora, vamos para o próximo intervalo, de até .
Dados:
Primeiro, calculamos :
Agora, estimamos no final do intervalo usando a inclinação atual:
ã

Passo 7

Calculamos ã:
ãã

Passo 8

Aplicamos a fórmula do Euler modificado para encontrar :
ã
Então, a aproximação em é .

Passo 9

Agora, vamos comparar essa aproximação com a solução exata no ponto :
Calculando cada termo:
Somando:

Resposta

Usando o método de Euler modificado com , a aproximação da solução no ponto é . Comparando com a solução exata , vemos que a aproximação apresenta uma diferença de aproximadamente 2,0824.

Exercícios relacionados

Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(b) , com .
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(a) , com .
Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(b) , com .
Solução exata: .
Um tanque contém 20 Kg de sal dissolvido em 5000 L de água. A partir do instante de tempo , uma quantidade conhecida de água salgada passa a ser despejada no tanque a uma certa taxa. A solução é misturada completamente e a mistura saí do tanque na mesma taxa que entrou. Seja a quantidade de sal (em Kg ) no tanque depois de minutos. Sabe-se que satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
Use dois passos do método de Runge-Kutta de ordem para determinar a quantidade de sal no tanque em minutos.