Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(a)
.
Solução exata:
.
(a)
Solução exata:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema que temos é usar o método de Euler modificado para aproximar a solução da equação diferencial dada:
A gente vai precisar entender o que é o método de Euler modificado, aplicar ele passo a passo com o tamanho do passo
, e depois comparar os resultados com a solução exata fornecida:
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Euler modificado. É uma técnica numérica para resolver equações diferenciais ordinárias. Diferente do método de Euler simples, que usa apenas a inclinação no começo do intervalo, o Euler modificado também usa a inclinação no final do intervalo para melhorar a precisão.
A fórmula geral fica assim:
Onde:
-
é a aproximação de no ponto . -
é o tamanho do passo. -
é a função que define a equação diferencial .
Passo 3
Vamos começar aplicando o método para o primeiro intervalo, de
até
.
Dados iniciais:
Primeiro, calculamos
:
Agora, estimamos
no final do intervalo usando a inclinação inicial:
Passo 4
Em seguida, calculamos
:
Vamos calcular numérico:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do Euler modificado para encontrar
:
Então, a aproximação em
é
.
Passo 6
Agora, vamos para o próximo intervalo, de
até
.
Dados:
Primeiro, calculamos
:
Agora, estimamos
no final do intervalo usando a inclinação atual:
Passo 7
Calculamos
:
Passo 8
Aplicamos a fórmula do Euler modificado para encontrar
:
Então, a aproximação em
é
.
Passo 9
Agora, vamos comparar essa aproximação com a solução exata no ponto
:
Calculando cada termo:
Somando:
Resposta
Usando o método de Euler modificado com
, a aproximação da solução no ponto
é
. Comparando com a solução exata
, vemos que a aproximação apresenta uma diferença de aproximadamente 2,0824.
Exercícios relacionados
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(b) , com
.
(b)
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(a) , com
.
(a)
Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(b) , com
.
Solução exata: .
(b)
Solução exata:
Um tanque contém 20 Kg de sal dissolvido em 5000 L de água. A partir do instante de tempo
, uma quantidade conhecida de água salgada passa a ser despejada no tanque a uma certa taxa. A solução é misturada completamente e a mistura saí do tanque na mesma taxa que entrou. Seja
a quantidade de sal (em Kg ) no tanque depois de
minutos. Sabe-se que
satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
Use dois passos do método de Runge-Kutta de
ordem para determinar a quantidade de sal no tanque em
minutos.