Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(a) y^prime=t e^3 t-2 y, 0 <= t <= 1, y(0)=0, com h=0,5.
Solução exata: y(t)=15 cdot t cdot e^3 cdot t-125 cdot e^3 cdot t+125 cdot e^-2 cdot t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema que temos é usar o método de Euler modificado para aproximar a solução da equação diferencial dada:
y^prime=t e^3 t-2 y, 0 <= t <= 1, y(0)=0, h=0,5
A gente vai precisar entender o que é o método de Euler modificado, aplicar ele passo a passo com o tamanho do passo y(t)=15 cdot t cdot e^3 t-125 cdot e^3 t+125 cdot e^-2 t , e depois comparar os resultados com a solução exata fornecida:

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Euler modificado. É uma técnica numérica para resolver equações diferenciais ordinárias. Diferente do método de Euler simples, que usa apenas a inclinação no começo do intervalo, o Euler modificado também usa a inclinação no final do intervalo para melhorar a precisão.
A fórmula geral fica assim:
yn+1 = yn + h2 [ f(tn, yn) + f(tn + h, yn + h cdot f(tn, yn)) ]
Onde:
  • é a aproximação de no ponto .
  • é o tamanho do passo.
  • é a função que define a equação diferencial .

Passo 3

Vamos começar aplicando o método para o primeiro intervalo, de f(t0, y0) = t0 cdot e^3 t0 - 2 y0 = 0 cdot e^0 - 2 cdot 0 = 0 até y1^previsão = y0 + h cdot f(t0, y0) = 0 + 0,5 cdot 0 = 0 .
Dados iniciais:
Primeiro, calculamos :
Agora, estimamos no final do intervalo usando a inclinação inicial:
ã

Passo 4

Em seguida, calculamos f(t1, y1^previsão) = t1 cdot e^3 t1 - 2 y1^previsão = 0,5 cdot e^1,5 - 2 cdot 0 ã:
e^1,5 approx 4,4817 f(t1, y1^previsão) approx 0,5 cdot 4,4817 = 2,2408 ãã
Vamos calcular numérico:
ã

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do Euler modificado para encontrar y1 = y0 + h2 [ f(t0, y0) + f(t1, y1^previsão) ] = 0 + 0,52 [ 0 + 2,2408 ] = 0 + 0,25 cdot 2,2408 = 0,5602 :
ã
Então, a aproximação em é .

Passo 6

Agora, vamos para o próximo intervalo, de f(t1, y1) = t1 cdot e^3 t1 - 2 y1 = 0,5 cdot e^1,5 - 2 cdot 0,5602 approx 0,5 cdot 4,4817 - 1,1204 approx 2,2408 - 1,1204 = 1,1204 até y2^previsão = y1 + h cdot f(t1, y1) = 0,5602 + 0,5 cdot 1,1204 = 0,5602 + 0,5602 = 1,1204 .
Dados:
Primeiro, calculamos :
Agora, estimamos no final do intervalo usando a inclinação atual:
ã

Passo 7

Calculamos f(t2, y2^previsão) = t2 cdot e^3 t2 - 2 y2^previsão = 1,0 cdot e^3 - 2 cdot 1,1204 approx 1 cdot 20,0855 - 2,2408 = 20,0855 - 2,2408 = 17,8447 ã:
ãã

Passo 8

Aplicamos a fórmula do Euler modificado para encontrar y2 = y1 + h2 [ f(t1, y1) + f(t2, y2^previsão) ] = 0,5602 + 0,52 [ 1,1204 + 17,8447 ] = 0,5602 + 0,25 cdot 18,9651 = 0,5602 + 4,7413 = 5,3015 :
ã
Então, a aproximação em é .

Passo 9

Agora, vamos comparar essa aproximação com a solução exata no ponto y(1) = 15 cdot 1 cdot e^3 - 125 cdot e^3 + 125 cdot e^-2 approx 15 cdot 20,0855 - 125 cdot 20,0855 + 125 cdot 0,1353 :
15 cdot 20,0855 = 4,0171 125 cdot 20,0855 = 0,8034 125 cdot 0,1353 = 0,0054
Calculando cada termo:
y(1) approx 4,0171 - 0,8034 + 0,0054 = 3,2191
Somando:

Resposta

Usando o método de Euler modificado com , a aproximação da solução no ponto é . Comparando com a solução exata , vemos que a aproximação apresenta uma diferença de aproximadamente 2,0824.

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