Usando a derivação implícita, obtenha a derivada das funções y=f(x) a seguir:
a) y=x^x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função usando derivação implícita. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais onde a base e o expoente são variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e algumas regras de derivação básica.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação. Assim:
ln(y) = ln(x^x)

Passo 3

Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que diz que ln(y) = x cdot ln(x) . Aplicando isso, temos:

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados em relação a ddx[ln(y)] = ddx[x cdot ln(x)] . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia do lado esquerdo:

Passo 5

Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
1y cdot dydx
No lado direito, aplicamos a regra do produto:
ddx[x] cdot ln(x) + x cdot ddx[ln(x)] = 1 cdot ln(x) + x cdot 1x = ln(x) + 1

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
1y cdot dydx = ln(x) + 1

Passo 7

Queremos isolar dydx = y cdot (ln(x) + 1) . Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 8

Lembrando que dydx = x^x cdot (ln(x) + 1) , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de dydx = x^x cdot (ln(x) + 1) é:

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