Usando o Método da Bisseção, encontre uma aproximação da solução única barx de cada uma das seguintes equações, nos intervalos indicados:
ln x-sen x=0 ; barx in[2,3], com erro absoluto menor que varepsilon=0.1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método da Bisseção. Esse método faz parte da matéria de Análise Numérica, que nos ajuda a encontrar raízes de funções de forma aproximada. Precisaremos entender como o Método da Bisseção funciona, que basicamente divide o intervalo onde sabemos que a raiz está até encontrar uma aproximação que seja suficientemente precisa. Aqui, nosso intervalo inicial é e queremos um erro absoluto menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos igualar a zero:
f(x) = ln x - sin x
Vamos avaliar essa função nos extremos do intervalo para confirmar que realmente há uma raiz entre eles.
Calculando em f(2) = ln 2 - sin 2 approx 0,6931 - 0,9093 approx -0,2162 :
f(3) = ln 3 - sin 3 approx 1,0986 - 0,1411 approx 0,9575
Calculando em :
Como é negativo e é positivo, pela Teorema de Bolzano, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método da Bisseção. A ideia é dividir o intervalo m = 2 + 32 = 2,5 em duas partes iguais e verificar em qual delas a função muda de sinal, ou seja, contém a raiz.
Primeiro, calculamos o ponto médio:
f(2,5) = ln 2,5 - sin 2,5 approx 0,9163 - 0,5985 approx 0,3178
Vamos calcular :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 4

Repetimos o processo com o novo intervalo m = 2 + 2,52 = 2,25 .
Calculamos o ponto médio:
f(2,25) = ln 2,25 - sin 2,25 approx 0,8109 - 0,7781 approx 0,0328
Calculamos :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Vamos dividir novamente o intervalo m = 2 + 2,252 = 2,125 .
Calculamos o ponto médio:
f(2,125) = ln 2,125 - sin 2,125 approx 0,7543 - 0,8415 approx -0,0872
Calculamos :
Agora, como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 6

Verificamos a largura do intervalo atual 2,25 - 2,125 = 0,125 :
m = 2,125 + 2,252 = 2,1875
Como f(2,1875) = ln 2,1875 - sin 2,1875 approx 0,7828 - 0,8140 approx -0,0312 , ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos mais uma vez dividir o intervalo.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 7

Verificamos a largura do intervalo 2,25 - 2,1875 = 0,0625 :
Agora, , então atingimos a precisão desejada.

Resposta

Uma aproximação da solução da equação no intervalo com erro absoluto menor que é .

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