Usando o Método da Bisseção, encontre uma aproximação da solução única
de cada uma das seguintes equações, nos intervalos indicados:
, com erro absoluto menor que
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
usando o Método da Bisseção. Esse método faz parte da matéria de Análise Numérica, que nos ajuda a encontrar raízes de funções de forma aproximada. Precisaremos entender como o Método da Bisseção funciona, que basicamente divide o intervalo onde sabemos que a raiz está até encontrar uma aproximação que seja suficientemente precisa. Aqui, nosso intervalo inicial é
e queremos um erro absoluto menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos igualar a zero:
Vamos avaliar essa função nos extremos do intervalo para confirmar que realmente há uma raiz entre eles.
Calculando em
:
Calculando em
:
Como
é negativo e
é positivo, pela Teorema de Bolzano, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método da Bisseção. A ideia é dividir o intervalo
em duas partes iguais e verificar em qual delas a função muda de sinal, ou seja, contém a raiz.
Primeiro, calculamos o ponto médio:
Vamos calcular
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
.
Passo 4
Repetimos o processo com o novo intervalo
.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Vamos dividir novamente o intervalo
.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Agora, como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
.
Passo 6
Verificamos a largura do intervalo atual
:
Como
, ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos mais uma vez dividir o intervalo.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
.
Passo 7
Verificamos a largura do intervalo
:
Agora,
, então atingimos a precisão desejada.
Resposta
Uma aproximação da solução
da equação
no intervalo
com erro absoluto menor que
é
.
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;
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;
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;
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