Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que .
, com aproximação inicial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma aproximada. A gente vai precisar da derivada da função e de uma aproximação inicial, que já foi dada como . Nosso objetivo é chegar numa solução com erro menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver:
Agora, precisamos calcular a derivada dessa função, que é essencial para o Método de Newton:

Passo 3

Vamos começar com a aproximação inicial . A fórmula do Método de Newton é:
Vamos calcular e :
Agora, aplicamos a fórmula:

Passo 4

Vamos iterar novamente com :
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, com :
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Vamos verificar o erro absoluto entre e :
Ainda não atingimos a precisão desejada. Continuamos:
Aplicando a fórmula:

Passo 7

Agora, verificamos o erro entre e :
Ainda está perto, mas vamos fazer mais uma iteração para garantir:
Aplicando a fórmula:

Resposta

Aproximadamente, a solução da equação no intervalo [2,4] é com erro menor que 0.001.

Exercícios relacionados

A equação tem uma única solução . Encontre a aproximação de , usando o Método das Aproximações Sucessivas, com e .
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que .
, com aproximação inicial .
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que .
, com aproximação inicial .
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que .
, com aproximação inicial .