Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução barx de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que varepsilon=0.001.
ln x-x+2=0 ; barx in[2,4], com aproximação inicial x0=2.0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação ln x - x + 2 = 0 usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma aproximada. A gente vai precisar da derivada da função e de uma aproximação inicial, que já foi dada como x0 = 2.0. Nosso objetivo é chegar numa solução com erro menor que varepsilon = 0.001.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver:
f(x) = ln x - x + 2
Agora, precisamos calcular a derivada dessa função, que é essencial para o Método de Newton:
f'(x) = 1x - 1

Passo 3

Vamos começar com a aproximação inicial x0 = 2.0. A fórmula do Método de Newton é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular f(x0) e f'(x0):
f(2) = ln 2 - 2 + 2 = ln 2 approx 0.6931
f'(2) = 12 - 1 = -0.5
Agora, aplicamos a fórmula:
x1 = 2.0 - 0.6931-0.5 = 2.0 + 1.3862 = 3.3862

Passo 4

Vamos iterar novamente com x1 = 3.3862:
f(3.3862) = ln(3.3862) - 3.3862 + 2 approx 1.2201 - 3.3862 + 2 = -0.1661
f'(3.3862) = 13.3862 - 1 approx 0.2950 - 1 = -0.7050
Aplicando a fórmula:
x2 = 3.3862 - -0.1661-0.7050 = 3.3862 - 0.2356 = 3.1506

Passo 5

Agora, com x2 = 3.1506:
f(3.1506) = ln(3.1506) - 3.1506 + 2 approx 1.1475 - 3.1506 + 2 = -0.0031
f'(3.1506) = 13.1506 - 1 approx 0.3173 - 1 = -0.6827
Aplicando a fórmula:
x3 = 3.1506 - -0.0031-0.6827 = 3.1506 - 0.0045 = 3.1461

Passo 6

Vamos verificar o erro absoluto entre x3 e x2:
|3.1461 - 3.1506| = 0.0045 > 0.001
Ainda não atingimos a precisão desejada. Continuamos:
f(3.1461) = ln(3.1461) - 3.1461 + 2 approx 1.1471 - 3.1461 + 2 = 0.0010
f'(3.1461) = 13.1461 - 1 approx 0.3177 - 1 = -0.6823
Aplicando a fórmula:
x4 = 3.1461 - 0.0010-0.6823 = 3.1461 + 0.0015 = 3.1476

Passo 7

Agora, verificamos o erro entre x4 e x3:
|3.1476 - 3.1461| = 0.0015 approx 0.001
Ainda está perto, mas vamos fazer mais uma iteração para garantir:
f(3.1476) = ln(3.1476) - 3.1476 + 2 approx 1.1473 - 3.1476 + 2 = -0.0003
f'(3.1476) = 13.1476 - 1 approx 0.3175 - 1 = -0.6825
Aplicando a fórmula:
x5 = 3.1476 - -0.0003-0.6825 = 3.1476 - 0.0004 = 3.1472

Resposta

Aproximadamente, a solução da equação ln x - x + 2 = 0 no intervalo [2,4] é barx approx 3.1472 com erro menor que 0.001.

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