Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que .
, com aproximação inicial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton! A equação que temos é e estamos procurando uma solução no intervalo . Para isso, vamos precisar do método de Newton, que usa derivadas para encontrar aproximações sucessivas da raiz da equação. Nosso ponto de partida é e queremos que o erro relativo seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos igualar a zero:
Agora, precisamos calcular a derivada dessa função, , porque o Método de Newton usa essa derivada para ajustar nossa aproximação:

Passo 3

Com e definidos, podemos aplicar a fórmula do Método de Newton para encontrar a próxima aproximação :
Vamos começar com . Vamos calcular :
Primeiro, calcule :
Em seguida, calcule :
Agora, aplique a fórmula para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos verificar se o erro relativo está abaixo de . Primeiro, calculamos o erro relativo entre e :
Como , precisamos continuar com mais uma iteração. Vamos calcular .

Passo 5

Calculamos :
Calculamos :
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar :

Passo 6

Vamos verificar o erro relativo entre e :
Como , precisamos de mais uma iteração. Vamos calcular .

Passo 7

Calculamos :
Calculamos :
Aplicamos a fórmula para encontrar :

Passo 8

Verificamos o erro relativo entre e :
Ainda é maior que , então vamos para .

Passo 9

Calculamos :
Calculamos :
Aplicamos a fórmula para encontrar :

Passo 10

Verificamos o erro relativo entre e :
Ainda acima de , então seguimos para .

Passo 11

Calculamos :
Calculamos :
Aplicamos a fórmula para encontrar :

Passo 12

Verificamos o erro relativo entre e :
Agora o erro relativo está dentro do limite de .

Resposta

A aproximação da solução é com erro relativo menor que .

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Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que .
, com aproximação inicial .
A equação tem uma única solução . Encontre a aproximação de , usando o Método das Aproximações Sucessivas, com e .
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que .
, com aproximação inicial .
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que .
, com aproximação inicial .