Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução barx de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que varepsilon=0.001.
x e^x-10=0 ; barx in[1,2], com aproximação inicial x0=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton! A equação que temos é e estamos procurando uma solução no intervalo . Para isso, vamos precisar do método de Newton, que usa derivadas para encontrar aproximações sucessivas da raiz da equação. Nosso ponto de partida é e queremos que o erro relativo seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função f(x) = x e^x - 10 que queremos igualar a zero:
f'(x) = ddx(x e^x) = e^x + x e^x = e^x(1 + x)
Agora, precisamos calcular a derivada dessa função, , porque o Método de Newton usa essa derivada para ajustar nossa aproximação:

Passo 3

Com xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) e f(1) = 1 cdot e^1 - 10 approx 2.7183 - 10 = -7.2817 definidos, podemos aplicar a fórmula do Método de Newton para encontrar a próxima aproximação f'(1) = e^1(1 + 1) = 2 cdot e approx 5.4366 :
x1 = 1 - -7.28175.4366 approx 1 + 1.3387 = 2.3387
Vamos começar com . Vamos calcular :
Primeiro, calcule :
Em seguida, calcule :
Agora, aplique a fórmula para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos verificar se o erro relativo está abaixo de Erro relativo = | x1 - x0x1 | = | 2.3387 - 12.3387 | approx 0.573 . Primeiro, calculamos o erro relativo entre e :
Como , precisamos continuar com mais uma iteração. Vamos calcular .

Passo 5

Calculamos f(2.3387) = 2.3387 cdot e^2.3387 - 10 approx 2.3387 cdot 10.3516 - 10 approx 24.149 - 10 = 14.149 :
f'(2.3387) = e^2.3387(1 + 2.3387) approx 10.3516 cdot 3.3387 approx 34.528
Calculamos x2 = 2.3387 - 14.14934.528 approx 2.3387 - 0.4107 = 1.9280 :
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar :

Passo 6

Vamos verificar o erro relativo entre Erro relativo = | 1.9280 - 2.33871.9280 | approx 0.213 e :
Como , precisamos de mais uma iteração. Vamos calcular .

Passo 7

Calculamos f(1.9280) = 1.9280 cdot e^1.9280 - 10 approx 1.9280 cdot 6.879 - 10 approx 13.242 - 10 = 3.242 :
f'(1.9280) = e^1.9280(1 + 1.9280) approx 6.879 cdot 2.928 approx 20.149
Calculamos x3 = 1.9280 - 3.24220.149 approx 1.9280 - 0.1607 = 1.7673 :
Aplicamos a fórmula para encontrar :

Passo 8

Verificamos o erro relativo entre Erro relativo = | 1.7673 - 1.92801.7673 | approx 0.092 e :
Ainda é maior que , então vamos para .

Passo 9

Calculamos f(1.7673) = 1.7673 cdot e^1.7673 - 10 approx 1.7673 cdot 5.876 - 10 approx 10.392 - 10 = 0.392 :
f'(1.7673) = e^1.7673(1 + 1.7673) approx 5.876 cdot 2.7673 approx 16.264
Calculamos x4 = 1.7673 - 0.39216.264 approx 1.7673 - 0.0241 = 1.7432 :
Aplicamos a fórmula para encontrar :

Passo 10

Verificamos o erro relativo entre Erro relativo = | 1.7432 - 1.76731.7432 | approx 0.014 e :
Ainda acima de , então seguimos para .

Passo 11

Calculamos f(1.7432) = 1.7432 cdot e^1.7432 - 10 approx 1.7432 cdot 5.728 - 10 approx 9.983 - 10 = -0.017 :
f'(1.7432) = e^1.7432(1 + 1.7432) approx 5.728 cdot 2.7432 approx 15.679
Calculamos x5 = 1.7432 - -0.01715.679 approx 1.7432 + 0.0011 = 1.7443 :
Aplicamos a fórmula para encontrar :

Passo 12

Verificamos o erro relativo entre Erro relativo = | 1.7443 - 1.74321.7443 | approx 0.001 e :
Agora o erro relativo está dentro do limite de .

Resposta

A aproximação da solução é com erro relativo menor que .

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