Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que . , com aproximação inicial .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton! A equação que temos é e estamos procurando uma solução no intervalo . Para isso, vamos precisar do método de Newton, que usa derivadas para encontrar aproximações sucessivas da raiz da equação. Nosso ponto de partida é e queremos que o erro relativo seja menor que .
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos igualar a zero:
Agora, precisamos calcular a derivada dessa função, , porque o Método de Newton usa essa derivada para ajustar nossa aproximação:
Passo 3
Com e definidos, podemos aplicar a fórmula do Método de Newton para encontrar a próxima aproximação :
Vamos começar com . Vamos calcular :
Primeiro, calcule :
Em seguida, calcule :
Agora, aplique a fórmula para encontrar :
Passo 4
Agora, vamos verificar se o erro relativo está abaixo de . Primeiro, calculamos o erro relativo entre e :
Como , precisamos continuar com mais uma iteração. Vamos calcular .
Passo 5
Calculamos :
Calculamos :
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar :
Passo 6
Vamos verificar o erro relativo entre e :
Como , precisamos de mais uma iteração. Vamos calcular .
Passo 7
Calculamos :
Calculamos :
Aplicamos a fórmula para encontrar :
Passo 8
Verificamos o erro relativo entre e :
Ainda é maior que , então vamos para .
Passo 9
Calculamos :
Calculamos :
Aplicamos a fórmula para encontrar :
Passo 10
Verificamos o erro relativo entre e :
Ainda acima de , então seguimos para .
Passo 11
Calculamos :
Calculamos :
Aplicamos a fórmula para encontrar :
Passo 12
Verificamos o erro relativo entre e :
Agora o erro relativo está dentro do limite de .
Resposta
A aproximação da solução é com erro relativo menor que .