Usando o mesmo modelo para o hélio, supondo que a caixa tem largura igual a 100 pm , porque o átomo é menor, mostre que o comprimento de onda da mesma transição (
1) é igual a
. Como podemos explicar o fato desse comprimento de onda calculado ser menor do que o calculado no item a, leve em a expressão de energia
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar o modelo do átomo em uma “caixa” (que em física quântica é uma maneira de simplificar o problema de um elétron preso em um espaço limitado) para o hélio. A caixa tem uma largura de 100 pm (picômetros). Precisamos descobrir o comprimento de onda da transição do elétron do nível de energia
para
. Para isso, vamos usar a fórmula da energia dos níveis em uma caixa quântica:
onde:
-
é a energia no nível , -
é a constante de Planck, -
é a massa do elétron, -
é a largura da caixa.
Depois, vamos relacionar essa energia com o comprimento de onda da luz emitida nessa transição.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as energias dos níveis
e
usando a fórmula dada. Vamos substituir os valores:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a diferença de energia entre os dois níveis, que é a energia liberada na transição de
para
:
Passo 4
Sabemos que a energia da radiação emitida está relacionada ao comprimento de onda
pela fórmula:
onde:
-
é a velocidade da luz.
Vamos isolar
:
Passo 5
Substituindo a expressão de
que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Substituindo na equação:
Passo 7
Fazendo as contas passo a passo:
- Calculando
:
- Multiplicando os numeradores:
- Multiplicando os denominadores:
- Dividindo numerador por denominador:
Resposta
O comprimento de onda da transição
é igual a 11,0 nm.