Usando o mesmo modelo para o hélio, supondo que a caixa tem largura igual a 100 pm , porque o átomo é menor, mostre que o comprimento de onda da mesma transição ( n=2 n= 1) é igual a 11,0 nm. Como podemos explicar o fato desse comprimento de onda calculado ser menor do que o calculado no item a, leve em a expressão de energia En=n^2 h^28 me L^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar o modelo do átomo em uma “caixa” (que em física quântica é uma maneira de simplificar o problema de um elétron preso em um espaço limitado) para o hélio. A caixa tem uma largura de 100 pm (picômetros). Precisamos descobrir o comprimento de onda da transição do elétron do nível de energia En = n^2 h^28 me L^2 para . Para isso, vamos usar a fórmula da energia dos níveis em uma caixa quântica:
onde:
  • é a energia no nível ,
  • é a constante de Planck,
  • é a massa do elétron,
  • é a largura da caixa.
Depois, vamos relacionar essa energia com o comprimento de onda da luz emitida nessa transição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as energias dos níveis E1 = 1^2 cdot h^28 cdot me cdot L^2 e E2 = 2^2 cdot h^28 cdot me cdot L^2 = 4 h^28 me L^2 = h^22 me L^2 usando a fórmula dada. Vamos substituir os valores:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a diferença de energia entre os dois níveis, que é a energia liberada na transição de De para :

Passo 4

Sabemos que a energia da radiação emitida está relacionada ao comprimento de onda De pela fórmula:
lambda = h cDe
onde:
  • é a velocidade da luz.
Vamos isolar :

Passo 5

Substituindo a expressão de lambda = h c3h^28 me L^2 = 8 me L^2 c3 h que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
  • lambda = 8 times 9,109 times 10^-31 times (100 times 10^-12)^2 times 3,00 times 10^83 times 6,626 times 10^-34
Substituindo na equação:

Passo 7

Fazendo as contas passo a passo:
  1. Calculando (100 times 10^-12)^2 = 10^-20 , m^2 :
8 times 9,109 times 10^-31 times 10^-20 times 3,00 times 10^8 = 8 times 9,109 times 3,00 times 10^-31 -20 +8 = 218,616 times 10^-43
  1. Multiplicando os numeradores:
3 times 6,626 times 10^-34 = 19,878 times 10^-34
  1. Multiplicando os denominadores:
lambda = 218,616 times 10^-4319,878 times 10^-34 = 11,0 times 10^-9 , m = 11,0 , nm
  1. Dividindo numerador por denominador:

Resposta

O comprimento de onda da transição é igual a 11,0 nm.

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