You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor aleatório com uma média e uma matriz de variância e covariância dadas. A tarefa é encontrar a covariância entre duas combinações lineares desses componentes: e . Para isso, vamos precisar entender como calcular a covariância entre combinações lineares de variáveis aleatórias usando a matriz de covariância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a covariância entre duas combinações lineares. Se tivermos duas matrizes e aplicadas a vetores e , a covariância entre e é dada por:
Onde é a matriz de covariância entre e , e é a transposta da matriz .

Passo 3

Vamos identificar a matriz a partir da matriz de covariância total . A matriz é dada por:
Como a gente dividiu em e , a matriz corresponde às covariâncias entre os componentes de e . Olhando para a matriz , vemos que:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da covariância entre as combinações lineares. Temos:
Primeiro, precisamos calcular , que é a transposta de :
Agora, multiplicamos pela e depois pelo :
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, multiplicamos por :
Agora, multiplicamos esse resultado pela :
Então, a covariância é uma matriz :

Resposta

A covariância entre e é:

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You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(i)
You are given the random vector with mean vector and variance-covariance matrix
Partition as
Let
and consider the linear combinations and . Find
(b)
Calcular:
pela regra do trapézio, com e 0.1 , sabendo que:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
1 0.995 0.980 0.955 0.921 0.877 0.825 0.764 0.696
Usando as regras do retângulo (ponto médio) e do trapézio sobre 5 pontos:
Sabe-se que:
1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
0.93204 0.96356 0.98545 0.99749 0.99957 .