You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor aleatório com uma média e uma matriz de variância e covariância dadas. A tarefa é encontrar a covariância entre duas combinações lineares desses componentes: e . Para isso, vamos precisar entender como calcular a covariância entre combinações lineares de variáveis aleatórias usando a matriz de covariância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a covariância entre duas combinações lineares. Se tivermos duas matrizes e aplicadas a vetores e , a covariância entre e é dada por:
Onde é a matriz de covariância entre e , e é a transposta da matriz .
Passo 3
Vamos identificar a matriz a partir da matriz de covariância total . A matriz é dada por:
Como a gente dividiu em e , a matriz corresponde às covariâncias entre os componentes de e . Olhando para a matriz , vemos que:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da covariância entre as combinações lineares. Temos:
Primeiro, precisamos calcular , que é a transposta de :