You are given the random vector X^prime=[X1, X2, X3, X4] with mean vector mux^prime=[4,3,2,1] e variance-covariance matrix
Partition X as
SigmaX=[rrrr 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4 ]
X=[c X1 X2 hdashline X3 X4 ]=[l X^(1) hdashline X^(2) ]
Let
A=[ll 1 & 2 ] e B=[ll 1 & -2 2 & -1 ]
e considere as combinações lineares A X^(1) e B X^(2). Find
(j) Cov(A X^(1), B X^(2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor aleatório X = [X1, X2, X3, X4] com uma média e uma matriz de variância e covariância dadas. A tarefa é encontrar a covariância entre duas combinações lineares desses componentes: A X^(1) e B X^(2). Para isso, vamos precisar entender como calcular a covariância entre combinações lineares de variáveis aleatórias usando a matriz de covariância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a covariância entre duas combinações lineares. Se tivermos duas matrizes A e B aplicadas a vetores X^(1) e X^(2), a covariância entre A X^(1) e B X^(2) é dada por:
Cov(A X^(1), B X^(2)) = A Sigma12 B^prime
Onde Sigma12 é a matriz de covariância entre X^(1) e X^(2), e B^prime é a transposta da matriz B.

Passo 3

Vamos identificar a matriz Sigma12 a partir da matriz de covariância total SigmaX. A matriz SigmaX é dada por:
SigmaX=[rrrr 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4 ]
Como a gente dividiu X em X^(1) = [X1, X2] e X^(2) = [X3, X4], a matriz Sigma12 corresponde às covariâncias entre os componentes de X^(1) e X^(2). Olhando para a matriz SigmaX, vemos que:
Sigma12 = [cc 2 & 2 1 & 0 ]

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da covariância entre as combinações lineares. Temos:
A = [ll 1 & 2 ] e B = [ll 1 & -2 2 & -1 ]
Primeiro, precisamos calcular B^prime, que é a transposta de B:
B^prime = [cc 1 & 2 -2 & -1 ]
Agora, multiplicamos A pela Sigma12 e depois pelo B^prime:
Cov(A X^(1), B X^(2)) = A Sigma12 B^prime
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, multiplicamos A por Sigma12:
A Sigma12 = [ll 1 & 2 ] [cc 2 & 2 1 & 0 ] = [cc 1 times 2 + 2 times 1 & 1 times 2 + 2 times 0 ] = [cc 4 & 2 ]
Agora, multiplicamos esse resultado pela B^prime:
[cc 4 & 2 ] [cc 1 & 2 -2 & -1 ] = 4 times 1 + 2 times (-2) para a primeira entrada = 4 - 4 = 0 e 4 times 2 + 2 times (-1) = 8 - 2 = 6
Então, a covariância é uma matriz 1 times 2:
Cov(A X^(1), B X^(2)) = [cc 0 & 6 ]

Resposta

A covariância entre A X^(1) e B X^(2) é:
Cov(A X^(1), B X^(2)) = [cc 0 & 6 ]

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