Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
(f) I=integral x csc ^2(x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Temos a integral indefinida . Vamos resolver essa integral usando o método de integração por partes, que é útil quando estamos lidando com o produto de duas funções, como e neste caso.

Passo 2

O método de integração por partes é baseado na fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Precisamos identificar quais partes da nossa integral serão u = x e dv = csc^2(x) , dx e . Vamos escolher:

Passo 3

Agora, calculamos du = dx e v = integral csc^2(x) , dx :
integral csc^2(x) , dx = -cot(x)
v = -cot(x)
Sabemos que:
Então,

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x csc^2(x) , dx = u v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x csc^2(x) , dx = x (-cot(x)) - integral (-cot(x)) , dx
Simplificando:
- x cot(x) + integral cot(x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral cot(x) , dx = ln|sin(x)| + C . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral é:
integral x csc^2(x) , dx = -x cot(x) + ln|sin(x)| + C

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