Use o método da bisecção para encontrar um zero para cada função a seguir, com a precisão dada.
  • f(x)=x^3-3 x^2+2 x-1, x in(-1,3), epsilon=10^-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método da bisecção. A ideia aqui é encontrar um zero da função no intervalo com uma precisão de . O método da bisecção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, dividindo repetidamente o intervalo e escolhendo o subintervalo onde a função muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função realmente muda de sinal no intervalo f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) - 1 = -1 - 3 - 2 - 1 = -7 . Calculamos f(3) = 3^3 - 3 times 3^2 + 2 times 3 - 1 = 27 - 27 + 6 - 1 = 5 e :
Como e , há uma mudança de sinal no intervalo, o que indica que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bisecção. A fórmula básica para encontrar o ponto médio c = a + b2 de um intervalo é:
Vamos iniciar com e .

Passo 4

Calculamos o ponto médio c = -1 + 32 = 1 :
f(1) = 1^3 - 3 times 1^2 + 2 times 1 - 1 = 1 - 3 + 2 - 1 = -1
Agora, avaliamos :
Como e sabemos que , a mudança de sinal ocorre entre e . Portanto, o novo intervalo é .

Passo 5

Repetimos o processo com o novo intervalo c = 1 + 32 = 2 :
f(2) = 2^3 - 3 times 2^2 + 2 times 2 - 1 = 8 - 12 + 4 - 1 = -1
Calculamos :
Como e , a mudança de sinal ainda está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 6

Mais uma iteração com o intervalo c = 2 + 32 = 2.5 :
f(2.5) = (2.5)^3 - 3 times (2.5)^2 + 2 times 2.5 - 1 = 15.625 - 18.75 + 5 - 1 = 0.875
Calculamos :
Agora, é positivo e é negativo, então a mudança de sinal está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 7

Continuamos com c = 2 + 2.52 = 2.25 :
f(2.25) = (2.25)^3 - 3 times (2.25)^2 + 2 times 2.25 - 1 = 11.390625 - 15.1875 + 4.5 - 1 = -0.296875
Calculamos :
Como e , a mudança de sinal está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 8

Mais uma iteração com c = 2.25 + 2.52 = 2.375 :
f(2.375) = (2.375)^3 - 3 times (2.375)^2 + 2 times 2.375 - 1 approx 13.388672 - 16.875 + 4.75 - 1 approx -0.736328
Calculamos :
Como e , a mudança de sinal está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 9

Agora, verificamos a largura do intervalo b - a = 2.5 - 2.375 = 0.125 :
Como , continuamos o processo.

Passo 10

Iteração com c = 2.375 + 2.52 = 2.4375 :
f(2.4375) = (2.4375)^3 - 3 times (2.4375)^2 + 2 times 2.4375 - 1 approx 14.453125 - 17.8515625 + 4.875 - 1 approx 0.4765625
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a mudança de sinal está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 11

Verificamos a largura do intervalo b - a = 2.4375 - 2.375 = 0.0625 :
Como , seguimos.

Passo 12

Iteração com c = 2.375 + 2.43752 = 2.40625 :
f(2.40625) = (2.40625)^3 - 3 times (2.40625)^2 + 2 times 2.40625 - 1 approx 13.9282227 - 17.3837891 + 4.8125 - 1 approx 0.3569336
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a mudança de sinal está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 13

Verificamos a largura do intervalo b - a = 2.40625 - 2.375 = 0.03125 :
Como , continuamos.

Passo 14

Iteração com c = 2.375 + 2.406252 = 2.390625 :
f(2.390625) = (2.390625)^3 - 3 times (2.390625)^2 + 2 times 2.390625 - 1 approx 13.7027588 - 17.1923828 + 4.78125 - 1 approx 0.291625
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a mudança de sinal está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 15

Verificamos a largura do intervalo b - a = 2.390625 - 2.375 = 0.015625 :
Como , seguimos.

Passo 16

Iteração com c = 2.375 + 2.3906252 = 2.3828125 :
f(2.3828125) = (2.3828125)^3 - 3 times (2.3828125)^2 + 2 times 2.3828125 - 1 approx 13.5649481 - 17.074707 - 1
Calculamos 2.3828125^3 approx 13.5649 :
3 times 2.3828125^2 approx 3 times 5.6750488 approx 17.0251465
Vamos calcular mais precisamente:
2 times 2.3828125 = 4.765625
f(2.3828125) approx 13.5649 - 17.0251465 + 4.765625 - 1 = 0.3053785
Então,
Como é positivo e é negativo, a mudança de sinal está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 17

Verificamos a largura do intervalo b - a = 2.3828125 - 2.375 = 0.0078125 :
Agora, , que é menor ou igual a nossa precisão desejada .

Resposta

Portanto, uma aproximação para a raiz da função no intervalo com precisão é aproximadamente .

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