Use o método da bisecção para encontrar um zero para cada função a seguir, com a precisão dada.
  • f(x)=x^2-5 x-1, x in(0,10), epsilon=10^-3;

Passo 1

Beleza, temos que usar o método da bisecção para encontrar uma raiz da função no intervalo com uma precisão de . O método da bisecção é usado para encontrar zeros de funções contínuas, dividindo o intervalo sucessivamente pela metade até chegar perto do zero desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os valores da função nas extremidades do intervalo:
f(0) = 0^2 - 5(0) - 1 = -1
f(10) = 10^2 - 5(10) - 1 = 100 - 50 - 1 = 49
Como é negativo e é positivo, pelo Teorema de Bolzano sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 3

Calculamos o ponto médio do intervalo:
c = 0 + 102 = 5
Avaliar f(5) = 5^2 - 5(5) - 1 = 25 - 25 - 1 = -1 :
Como , que tem o mesmo sinal que , a raiz está no intervalo .

Passo 4

Novo ponto médio:
c = 5 + 102 = 7.5
Avaliar f(7.5) = 7.5^2 - 5(7.5) - 1 = 56.25 - 37.5 - 1 = 17.75 :
Agora, é positivo, então a raiz está no intervalo .

Passo 5

Novo ponto médio:
c = 5 + 7.52 = 6.25
Avaliar f(6.25) = 6.25^2 - 5(6.25) - 1 = 39.0625 - 31.25 - 1 = 6.8125 :
Como é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 6

Novo ponto médio:
c = 5 + 6.252 = 5.625
Avaliar f(5.625) = 5.625^2 - 5(5.625) - 1 = 31.640625 - 28.125 - 1 = 2.515625 :
Como é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 7

Novo ponto médio:
c = 5 + 5.6252 = 5.3125
Avaliar f(5.3125) = 5.3125^2 - 5(5.3125) - 1 = 28.19140625 - 26.5625 - 1 = 0.62890625 :
Como é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 8

Novo ponto médio:
c = 5 + 5.31252 = 5.15625
Avaliar f(5.15625) = 5.15625^2 - 5(5.15625) - 1 = 26.580078125 - 25.78125 - 1 = -0.201171875 :
Como é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 9

Novo ponto médio:
c = 5.15625 + 5.31252 = 5.234375
Avaliar f(5.234375) = 5.234375^2 - 5(5.234375) - 1 = 27.392578125 - 26.171875 - 1 = 0.220703125 :
Como é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 10

Novo ponto médio:
c = 5.15625 + 5.2343752 = 5.1953125
Avaliar f(5.1953125) = 5.1953125^2 - 5(5.1953125) - 1 = 26.984375 - 25.9765625 - 1 = -0.9921875 :
Como é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 11

Novo ponto médio:
c = 5.1953125 + 5.2343752 = 5.21484375
Avaliar f(5.21484375) = 5.21484375^2 - 5(5.21484375) - 1 = 27.21484375 - 26.07421875 - 1 = 0.140625 :
Como é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 12

Novo ponto médio:
c = 5.1953125 + 5.214843752 = 5.205078125
Avaliar f(5.205078125) = 5.205078125^2 - 5(5.205078125) - 1 = 27.0595703125 - 26.025390625 - 1 = 0.0341796875 :
Como é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 13

Novo ponto médio:
c = 5.1953125 + 5.2050781252 = 5.2001953125
Avaliar f(5.2001953125) = 5.2001953125^2 - 5(5.2001953125) - 1 = 27.0400390625 - 26.0009765625 - 1 = 0.0390625 :
Como é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 14

Novo ponto médio:
c = 5.1953125 + 5.20019531252 = 5.19775390625
Avaliar f(5.19775390625) = 5.19775390625^2 - 5(5.19775390625) - 1 = 26.9903564453125 - 25.98876953125 - 1 = 0.0015869140625 :
Como , alcançamos a precisão desejada.

Resposta

A raiz da função no intervalo com precisão é aproximadamente .

Exercícios relacionados