Use o método da bisecção para encontrar um zero para cada função a seguir, com a precisão dada.
  • f(x)=cos (x)-x, x in(0,2), epsilon=10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando o método da bisecção! A gente quer encontrar onde a função cruza o eixo , ou seja, onde no intervalo . Para isso, vamos precisar dividir esse intervalo repetidamente até achar uma solução com a precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função muda de sinal no intervalo . Calculamos e . Como é positivo e é negativo, sabemos que tem pelo menos uma raiz nesse intervalo pela Teoria do Valor Intermediário.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto médio do intervalo:
c = a + b2 = 0 + 22 = 1
Calculamos . Como é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 4

Repetimos o processo com o novo intervalo c = 0 + 12 = 0.5 . Calculamos o ponto médio:
E . Agora, como é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Vamos de novo com o intervalo c = 0.5 + 12 = 0.75 . Ponto médio:
b - a2 = 1 - 0.52 = 0.25
E . Como é negativo e estamos buscando precisão de , verificamos a metade do intervalo:
Como , continuamos.

Passo 6

Atualizamos o intervalo para c = 0.5 + 0.752 = 0.625 porque é negativo e é positivo. Calculamos:
E . A raiz está no intervalo .

Passo 7

Mais uma vez, encontramos o ponto médio:
c = 0.625 + 0.752 = 0.6875
Calculamos 0.75 - 0.6252 = 0.0625 . Agora, a metade do intervalo:
Ainda maior que , então seguimos.

Passo 8

Atualizamos para c = 0.6875 + 0.752 = 0.71875 . Ponto médio:
E . A raiz está no intervalo .

Passo 9

Calculamos o ponto médio:
c = 0.6875 + 0.718752 = 0.703125
E 0.71875 - 0.68752 = 0.015625 . Metade do intervalo:
Ainda não chegamos na precisão desejada.

Passo 10

Atualizamos para c = 0.6875 + 0.7031252 = 0.6953125 . Ponto médio:
0.703125 - 0.68752 = 0.0078125
E . Agora, a metade do intervalo:
Que é menor que ! Então, paramos aqui.

Resposta

A raiz aproximada da função no intervalo com precisão é .

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