Use o método de Newton-Raphson para encontrar os zeros das seguintes funções. Considere a precisão dada.
  • f(x)=sen(x), x in(pi / 2,3 pi / 4), epsilon=10^-2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Método de Newton-Raphson! O que a gente precisa fazer é encontrar os zeros da função no intervalo com uma precisão de . Para isso, vamos precisar da fórmula do Método de Newton-Raphson e saber como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são zeros da função. Zeros são os valores de onde . No nosso caso, estamos procurando os pontos onde dentro do intervalo especificado.

Passo 3

O Método de Newton-Raphson usa a seguinte fórmula para aproximar os zeros:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f'(x) = cos(x) é a derivada de . Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Agora, precisamos escolher um ponto inicial dentro do intervalo . Vamos escolher como nosso ponto de partida.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula de Newton-Raphson para encontrar x1 = x0 - sen(x0)cos(x0) :
Substituindo sen(3pi4) = raiz22 e cos(3pi4) = -raiz22 :
Então,
x1 = 3pi4 - raiz22-raiz22 = 3pi4 + 1 = 3pi4 + 1

Passo 6

Vamos calcular o próximo passo x2 = x1 - sen(x1)cos(x1) :
Substituímos x2 = 3pi4 + 1 - sen(3pi4 + 1)cos(3pi4 + 1) pelo valor encontrado:
Calculando os valores de seno e cosseno dessa expressão:
Então,
sen(3pi4 + 1) approx 0.7071 e cos(3pi4 + 1) approx -0.7071

Passo 7

Vamos continuar iterando até que a diferença entre e seja menor que . No entanto, percebemos que a sequência está aumentando sem convergir para um zero dentro do nosso intervalo. Isso indica que não há zeros de nesse intervalo específico .

Resposta

Após aplicar o Método de Newton-Raphson, concluímos que não existe um zero da função no intervalo com a precisão desejada de .

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