Use o método de Newton-Raphson para encontrar os zeros das seguintes funções. Considere a precisão dada.
  • f(x)=cos (x)-x, x in(0,2), epsilon=10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os zeros da função no intervalo usando o método de Newton-Raphson, com uma precisão de . O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar as raízes de uma função de forma eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um chute inicial dentro do intervalo dado. Digamos que começamos com .

Passo 3

O método de Newton-Raphson utiliza a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Para isso, precisamos calcular a derivada da função f'(x) = -sin(x) - 1 . Então, vamos derivar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula com nosso chute inicial f(0.5) = cos(0.5) - 0.5 approx 0.87758 - 0.5 = 0.37758 :
f'(0.5) = -sin(0.5) - 1 approx -0.47943 - 1 = -1.47943
x1 = 0.5 - 0.37758-1.47943 approx 0.5 + 0.2549 = 0.7549
Então,

Passo 5

Verificamos a precisão entre |x1 - x0| = |0.7549 - 0.5| = 0.2549 e :
Como , precisamos repetir o processo com .

Passo 6

Calculamos f(0.7549) = cos(0.7549) - 0.7549 approx 0.7283 - 0.7549 = -0.0266 e f'(0.7549) = -sin(0.7549) - 1 approx -0.6844 - 1 = -1.6844 :
x2 = 0.7549 - -0.0266-1.6844 approx 0.7549 - 0.0158 = 0.7391
Aplicamos a fórmula novamente:

Passo 7

Verificamos a precisão entre |x2 - x1| = |0.7391 - 0.7549| = 0.0158 e :
Ainda é maior que , então iteramos mais uma vez.

Passo 8

Calculamos f(0.7391) = cos(0.7391) - 0.7391 approx 0.7391 - 0.7391 = 0 e :
A diferença é praticamente zero, o que está dentro da precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada da função no intervalo é .

Exercícios relacionados