Use o método da bisseção para calcular uma solução das equaçőes (Zero da função):
f(x)=e^x-x-2
C) f(x)=x 3-x-1, no intervalo [1,2], com precisão (tolerância) =2.10^-3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação usando o método da bisseção, no intervalo , com uma tolerância de . Isso significa que vamos encontrar uma raiz da função dentro desse intervalo, com uma precisão de três casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. É um método numérico simples para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em metades e escolher a subintervalo onde a função muda de sinal, repetindo esse processo até alcançar a precisão desejada.

Passo 3

Vamos verificar os valores de f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 nos extremos do intervalo f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 :
Como é negativo e é positivo, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo, pois a função muda de sinal.

Passo 4

Agora, vamos iniciar o processo de bisseção. Calculamos o ponto médio do intervalo:
c = 1 + 22 = 1.5
Vamos calcular f(1.5) = (1.5)^3 - 1.5 - 1 = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 :
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1 e 1.5.

Passo 5

Atualizamos o intervalo para c = 1 + 1.52 = 1.25 e calculamos o novo ponto médio:
f(1.25) = (1.25)^3 - 1.25 - 1 = 1.953125 - 1.25 - 1 = -0.296875
Calculamos :
Agora, como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.25 e 1.5.

Passo 6

Continuamos o processo com o novo intervalo c = 1.25 + 1.52 = 1.375 :
f(1.375) = (1.375)^3 - 1.375 - 1 = 2.599609375 - 1.375 - 1 = 0.224609375
Calculamos :
Como é positivo, a raiz está entre 1.25 e 1.375.

Passo 7

Atualizamos para o intervalo c = 1.25 + 1.3752 = 1.3125 e encontramos o ponto médio:
f(1.3125) = (1.3125)^3 - 1.3125 - 1 = 2.252197266 - 1.3125 - 1 = -0.060302734
Calculamos :
Como é negativo, a raiz está entre 1.3125 e 1.375.

Passo 8

Seguindo para o intervalo c = 1.3125 + 1.3752 = 1.34375 :
f(1.34375) = (1.34375)^3 - 1.34375 - 1 approx 2.432373047 - 1.34375 - 1 = 0.088623047
Calculamos :
Como é positivo, a raiz está entre 1.3125 e 1.34375.

Passo 9

Atualizamos para c = 1.3125 + 1.343752 = 1.328125 e encontramos:
f(1.328125) = (1.328125)^3 - 1.328125 - 1 approx 2.343994141 - 1.328125 - 1 = 0.015869141
Calculamos :
Como é positivo, a raiz está entre 1.3125 e 1.328125.

Passo 10

Continuamos com c = 1.3125 + 1.3281252 = 1.3203125 :
f(1.3203125) = (1.3203125)^3 - 1.3203125 - 1 approx 2.299560547 - 1.3203125 - 1 = -0.020751953
Calculamos :
Como é negativo, a raiz está entre 1.3203125 e 1.328125.

Passo 11

Atualizamos para c = 1.3203125 + 1.3281252 = 1.32421875 e calculamos:
f(1.32421875) = (1.32421875)^3 - 1.32421875 - 1 approx 2.321411133 - 1.32421875 - 1 = -0.002807617
Calculamos :
A diferença está dentro da tolerância , pois .

Resposta

A solução aproximada da equação no intervalo , usando o método da bisseção com tolerância de , é .

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