Use o método da falsa posição para calcular o zero da função:
A) f(x)=x^2+ln x, no intervalo [0.5,1], com varepsilon <= 0,050.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o zero da função no intervalo usando o método da falsa posição. O zero da função é o valor de onde . Para isso, vamos precisar conhecer a função e aplicar o método da falsa posição, que é uma técnica para encontrar raízes de funções.

Passo 2

O método da falsa posição funciona usando dois pontos iniciais f(0.5) = (0.5)^2 + ln(0.5) approx 0.25 - 0.6931 = -0.4431 e f(1) = (1)^2 + ln(1) = 1 + 0 = 1 no intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Primeiro, vamos verificar os valores de e :
Como é negativo e é positivo, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da falsa posição para encontrar uma aproximação da raiz:
c = b - f(b)(b - a)f(b) - f(a)
Substituindo os valores:
c = 1 - 1 times (1 - 0.5)1 - (-0.4431) approx 1 - 0.51.4431 approx 1 - 0.3466 = 0.6534

Passo 4

Calculamos f(0.6534) = (0.6534)^2 + ln(0.6534) approx 0.4265 - 0.4254 = 0.0011 :
Como o valor de está muito próximo de zero (menor que ), podemos parar aqui.

Resposta

A aproximação do zero da função no intervalo é .

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