Use o método da falsa posição para calcular o zero da função:
B) f(x)=x^3-x-1, no intervalo [1,2], com varepsilon <= 2 times 10^-3=0,002

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre encontrar o zero de uma função usando o método da falsa posição. A função que vamos analisar é , e precisamos encontrar um valor de no intervalo que faça com uma margem de erro menor ou igual a . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método da falsa posição, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo para confirmar que realmente existe uma raiz entre eles. Calculamos:
f(1) = 1^3 - 1 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1
f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5
Como é negativo e é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 3

O método da falsa posição (ou Regula Falsi) usa uma fórmula para estimar a raiz da função. A fórmula é:
xr = b - f(b) cdot (a - b)f(a) - f(b)
Onde:
  • e são os limites do intervalo atual.
  • e são os valores da função nos pontos e .
  • é a nova estimativa para a raiz.
Vamos aplicar essa fórmula para o nosso caso.

Passo 4

Inicialmente, temos:
  • xr = 2 - 5 cdot (1 - 2)-1 - 5 = 2 - 5 cdot (-1)-6 = 2 - -5-6 = 2 - 56 = 126 - 56 = 76 approx 1,1667
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, calculamos f(76) = (76)^3 - 76 - 1 approx 1,680 - 1,1667 - 1 = -0,4867 :
Como é negativo, a raiz está entre e . Atualizamos nossos limites:

Passo 6

Vamos calcular uma nova estimativa xr = 2 - 5 cdot (1,1667 - 2)-0,4867 - 5 = 2 - 5 cdot (-0,8333)-5,4867 approx 2 - -4,1665-5,4867 approx 2 - 0,759 = 1,241 com os novos limites:
f(1,241) = (1,241)^3 - 1,241 - 1 approx 1,908 - 1,241 - 1 = -0,333
Agora, calculamos :
Como ainda é negativo, atualizamos os limites:

Passo 7

Repetindo o processo:
xr = 2 - 5 cdot (1,241 - 2)-0,333 - 5 = 2 - 5 cdot (-0,759)-5,333 approx 2 - -3,795-5,333 approx 2 - 0,712 = 1,288
Calculando f(1,288) = (1,288)^3 - 1,288 - 1 approx 2,132 - 1,288 - 1 = -0,156 :
Ainda negativo, então:

Passo 8

Mais uma iteração:
xr = 2 - 5 cdot (1,288 - 2)-0,156 - 5 = 2 - 5 cdot (-0,712)-5,156 approx 2 - -3,56-5,156 approx 2 - 0,690 = 1,310
Calculando f(1,310) = (1,310)^3 - 1,310 - 1 approx 2,242 - 1,310 - 1 = -0,068 :
Atualizamos:

Passo 9

Outra iteração:
xr = 2 - 5 cdot (1,310 - 2)-0,068 - 5 = 2 - 5 cdot (-0,690)-5,068 approx 2 - -3,450-5,068 approx 2 - 0,681 = 1,319
Calculando f(1,319) = (1,319)^3 - 1,319 - 1 approx 2,291 - 1,319 - 1 = -0,028 :
Atualizamos:

Passo 10

Mais uma vez:
xr = 2 - 5 cdot (1,319 - 2)-0,028 - 5 = 2 - 5 cdot (-0,681)-5,028 approx 2 - -3,405-5,028 approx 2 - 0,677 = 1,323
Calculando f(1,323) = (1,323)^3 - 1,323 - 1 approx 2,317 - 1,323 - 1 = -0,006 :
Atualizamos:

Passo 11

Última iteração necessária para atingir o erro desejado:
xr = 2 - 5 cdot (1,323 - 2)-0,006 - 5 = 2 - 5 cdot (-0,677)-5,006 approx 2 - -3,385-5,006 approx 2 - 0,676 = 1,324
Calculando f(1,324) = (1,324)^3 - 1,324 - 1 approx 2,324 - 1,324 - 1 = -0,000 :
A diferença entre as últimas duas estimativas de é menor que , então podemos parar.

Resposta

O zero da função no intervalo , calculado pelo método da falsa posição com erro menor ou igual a , é aproximadamente .

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