Use o método da falsa posição para calcular o zero da função:
D) f(x)=x^2-1, no intervalo [0.25,1.25], com varepsilon <= 2 times 10^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método da falsa posição para encontrar o zero da função no intervalo , com uma tolerância de erro . Basicamente, o método da falsa posição ajuda a achar onde a função cruza o eixo x, ou seja, onde .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função muda de sinal no intervalo dado. Calculamos f(0.25) = (0.25)^2 - 1 = 0.0625 - 1 = -0.9375 e f(1.25) = (1.25)^2 - 1 = 1.5625 - 1 = 0.5625 :
Como é negativo e é positivo, sabemos que existe pelo menos um zero da função nesse intervalo.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da falsa posição para encontrar uma nova aproximação do zero. A fórmula é:
xr = b - f(b) times (a - b)f(a) - f(b)
Onde:
  • xr = 1.25 - 0.5625 times (0.25 - 1.25)-0.9375 - 0.5625 = 1.25 - 0.5625 times (-1)-1.5 = 1.25 - -0.5625-1.5 = 1.25 - 0.375 = 0.875
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, calculamos f(0.875) = (0.875)^2 - 1 = 0.765625 - 1 = -0.234375 para ver se já atingimos a precisão desejada:
Como é negativo, substituímos por :
  • Novo

Passo 5

Aplicamos novamente a fórmula da falsa posição:
xr = 1.25 - 0.5625 times (0.875 - 1.25)-0.234375 - 0.5625 = 1.25 - 0.5625 times (-0.375)-0.796875 = 1.25 - -0.2109375-0.796875 approx 1.25 - 0.264 = 0.986

Passo 6

Calculamos f(0.986) = (0.986)^2 - 1 approx 0.972196 - 1 = -0.027804 :
Como o valor absoluto de é menor que a tolerância , podemos parar aqui.

Resposta

O zero da função no intervalo é aproximadamente com uma precisão de .

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