Use o método de Gaus para determinar a solução aproximada, com duas casas decimais, dos seguintes sistemas lineares. Quando necessário, use o refinamento de soluções para encontrar as soluções refinadas
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss. O objetivo é encontrar os valores das variáveis
e
que satisfazem todas as quatro equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema:
Passo 3
O próximo passo é transformar essa matriz em forma escalonada usando operações de linha. Vamos começar eliminando o
1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & -3 & -4 & -5 & | & -13 3 & 2 & 1 & 2 & | & 6 4 & 3 & 2 & 1 & | & 5 das linhas 2, 3 e 4.
Para eliminar o
da linha 2, fazemos: Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
Passo 4
Agora, eliminamos o
1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & -3 & -4 & -5 & | & -13 0 & -4 & -8 & -10 & | & -24 4 & 3 & 2 & 1 & | & 5 da linha 3: Linha 3 = Linha 3 - 3 * Linha 1
Passo 5
Em seguida, eliminamos o
1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & -3 & -4 & -5 & | & -13 0 & -4 & -8 & -10 & | & -24 0 & -5 & -10 & -15 & | & -35 da linha 4: Linha 4 = Linha 4 - 4 * Linha 1
Passo 6
Agora, focamos na segunda coluna. Vamos transformar o coeficiente de
1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & -4 & -8 & -10 & | & -24 0 & -5 & -10 & -15 & | & -35 na linha 2 para 1 dividindo a linha 2 por -3:
Linha 2 = (1/-3) * Linha 2
Passo 7
Agora, eliminamos o
1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & 0 & -43 & -103 & | & -203 0 & -5 & -10 & -15 & | & -35 das linhas 3 e 4 usando a nova linha 2.
Para a linha 3: Linha 3 = Linha 3 + 4 * Linha 2
Para a linha 4: Linha 4 = Linha 4 + 5 * Linha 2
Passo 8
Agora, focamos na terceira coluna. Vamos transformar o coeficiente de
1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & 0 & 1 & 52 & | & 5 0 & 0 & -103 & -103 & | & -103 na linha 3 para 1 multiplicando a linha 3 por -3/4:
Linha 3 = (-3/4) * Linha 3
Passo 9
Eliminamos o
1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & 0 & 1 & 52 & | & 5 0 & 0 & 0 & 53 & | & 103 da linha 4 usando a nova linha 3:
Linha 4 = Linha 4 +
* Linha 3
Passo 10
Agora, resolvemos para
53 t = 103 Rightarrow t = 2 na linha 4:
Passo 11
Substituímos
z + 52 times 2 = 5 Rightarrow z + 5 = 5 Rightarrow z = 0 na linha 3 para encontrar
:
Passo 12
Substituímos
y + 43 times 0 + 53 times 2 = 133 Rightarrow y + 103 = 133 Rightarrow y = 1 e
na linha 2 para encontrar
:
Passo 13
Por fim, substituímos
x + 2 times 1 + 3 times 0 + 4 times 2 = 10 Rightarrow x + 2 + 0 + 8 = 10 Rightarrow x = 0 ,
e
na linha 1 para encontrar
:
Resposta
A solução aproximada do sistema é: