Use o método de Gaus para determinar a solução aproximada, com duas casas decimais, dos seguintes sistemas lineares. Quando necessário, use o refinamento de soluções para encontrar as soluções refinadas x1, x2, x3.
(b) rx+2 y+3 z+4 t=10 2 x+y+2 z+3 t=7 3 x+2 y+z+2 t=6 4 x+3 y+2 z+t=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss. O objetivo é encontrar os valores das variáveis e que satisfazem todas as quatro equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema:
1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 2 & 1 & 2 & 3 & | & 7 3 & 2 & 1 & 2 & | & 6 4 & 3 & 2 & 1 & | & 5

Passo 3

O próximo passo é transformar essa matriz em forma escalonada usando operações de linha. Vamos começar eliminando o 1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & -3 & -4 & -5 & | & -13 3 & 2 & 1 & 2 & | & 6 4 & 3 & 2 & 1 & | & 5 das linhas 2, 3 e 4.
Para eliminar o da linha 2, fazemos: Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1

Passo 4

Agora, eliminamos o 1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & -3 & -4 & -5 & | & -13 0 & -4 & -8 & -10 & | & -24 4 & 3 & 2 & 1 & | & 5 da linha 3: Linha 3 = Linha 3 - 3 * Linha 1

Passo 5

Em seguida, eliminamos o 1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & -3 & -4 & -5 & | & -13 0 & -4 & -8 & -10 & | & -24 0 & -5 & -10 & -15 & | & -35 da linha 4: Linha 4 = Linha 4 - 4 * Linha 1

Passo 6

Agora, focamos na segunda coluna. Vamos transformar o coeficiente de 1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & -4 & -8 & -10 & | & -24 0 & -5 & -10 & -15 & | & -35 na linha 2 para 1 dividindo a linha 2 por -3:
Linha 2 = (1/-3) * Linha 2

Passo 7

Agora, eliminamos o 1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & 0 & -43 & -103 & | & -203 0 & -5 & -10 & -15 & | & -35 das linhas 3 e 4 usando a nova linha 2.
Para a linha 3: Linha 3 = Linha 3 + 4 * Linha 2
1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & 0 & -43 & -103 & | & -203 0 & 0 & -103 & -103 & | & -103
Para a linha 4: Linha 4 = Linha 4 + 5 * Linha 2

Passo 8

Agora, focamos na terceira coluna. Vamos transformar o coeficiente de 1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & 0 & 1 & 52 & | & 5 0 & 0 & -103 & -103 & | & -103 na linha 3 para 1 multiplicando a linha 3 por -3/4:
Linha 3 = (-3/4) * Linha 3

Passo 9

Eliminamos o 1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & 0 & 1 & 52 & | & 5 0 & 0 & 0 & 53 & | & 103 da linha 4 usando a nova linha 3:
Linha 4 = Linha 4 + * Linha 3

Passo 10

Agora, resolvemos para 53 t = 103 Rightarrow t = 2 na linha 4:

Passo 11

Substituímos z + 52 times 2 = 5 Rightarrow z + 5 = 5 Rightarrow z = 0 na linha 3 para encontrar :

Passo 12

Substituímos y + 43 times 0 + 53 times 2 = 133 Rightarrow y + 103 = 133 Rightarrow y = 1 e na linha 2 para encontrar :

Passo 13

Por fim, substituímos x + 2 times 1 + 3 times 0 + 4 times 2 = 10 Rightarrow x + 2 + 0 + 8 = 10 Rightarrow x = 0 , e na linha 1 para encontrar :

Resposta

A solução aproximada do sistema é:
x = 0, y = 1, z = 0, t = 2

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