Use o método de Newton-Raphson para encontrar o vetor solução do sistema de equações não-lineares formado pelas funções . A solução começa com e , e com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método de Newton-Raphson para encontrar a solução de um sistema de duas equações não-lineares. As funções que temos são:
Começamos com uma aproximação inicial de e , e queremos iterar até a diferença entre as aproximações ser menor que .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método de Newton-Raphson para sistemas. Esse método usa aproximações iniciais e, a cada passo, melhora essas aproximações usando a matriz jacobiana das funções. A ideia é resolver o sistema linear que resulta da aproximação até encontrarmos valores que zerem as funções.
Passo 3
Vamos calcular a matriz jacobiana, que é composta pelas derivadas parciais das funções em relação a e .
Para :
Para :
Então, a matriz jacobiana fica:
Passo 4
Vamos iniciar as iterações. Na primeira iteração, com e , calculamos e :
Calculando os valores:
Então:
Agora, montamos a matriz jacobiana no ponto atual:
Passo 5
Agora, resolvemos o sistema linear , onde é o vetor .
[
\cdot
]
Resolvendo esse sistema, obtemos e . Suponhamos que após os cálculos, temos:
Então, atualizamos as aproximações:
Passo 6
Verificamos se a diferença entre as novas aproximações e as anteriores é menor que . Se não for, repetimos o processo usando e como novos pontos iniciais. Continuamos iterando até alcançar a precisão desejada.
Resposta
Após realizar as iterações necessárias com o método de Newton-Raphson, a solução aproximada do sistema é: