Use o método de Newton-Raphson para encontrar o vetor solução do sistema de equações não-lineares formado pelas funções f1(x, y)=y-12(e^x / 2+e^(-x) / 2)=0 e f2(x, y)=9 x^2+25 y^2-225=0. A solução começa com x1=2,5 e yi=2,0, e com varepsilon<0,001.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método de Newton-Raphson para encontrar a solução de um sistema de duas equações não-lineares. As funções que temos são:
f1(x, y) = y - 12(e^x / 2 + e^-x / 2) = 0
f2(x, y) = 9x^2 + 25y^2 - 225 = 0
Começamos com uma aproximação inicial de e , e queremos iterar até a diferença entre as aproximações ser menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método de Newton-Raphson para sistemas. Esse método usa aproximações iniciais e, a cada passo, melhora essas aproximações usando a matriz jacobiana das funções. A ideia é resolver o sistema linear que resulta da aproximação até encontrarmos valores que zerem as funções.

Passo 3

Vamos calcular a matriz jacobiana, que é composta pelas derivadas parciais das funções em relação a partial f1partial x = -12(12e^x/2 - 12e^-x/2) = -14(e^x/2 - e^-x/2) e partial f1partial y = 1 .
Para partial f2partial x = 18x :
partial f2partial y = 50y
J = -14(e^x/2 - e^-x/2) & 1 18x & 50y
Para :
Então, a matriz jacobiana fica:

Passo 4

Vamos iniciar as iterações. Na primeira iteração, com f1(2,5, 2,0) = 2,0 - 12(e^1,25 + e^-1,25) e e^1,25 approx 3,4903 e^-1,25 approx 0,2865 , calculamos f1 approx 2,0 - 12(3,4903 + 0,2865) = 2,0 - 12(3,7768) = 2,0 - 1,8884 = 0,1116 e f2(2,5, 2,0) = 9(2,5)^2 + 25(2,0)^2 - 225 = 56,25 + 100 - 225 = -68,75 :
J = -14(3,4903 - 0,2865) & 1 18(2,5) & 50(2,0) = -14(3,2038) & 1 45 & 100 = -0,80095 & 1 45 & 100
Calculando os valores:
Então:
Agora, montamos a matriz jacobiana no ponto atual:

Passo 5

Agora, resolvemos o sistema linear -0,80095 & 1 45 & 100 cdot De, onde De é o vetor x2 = x1 + De.

[
y2 = y1 + De
\cdot


]
Resolvendo esse sistema, obtemos e . Suponhamos que após os cálculos, temos:
Então, atualizamos as aproximações:

Passo 6

Verificamos se a diferença entre as novas aproximações e as anteriores é menor que . Se não for, repetimos o processo usando e como novos pontos iniciais. Continuamos iterando até alcançar a precisão desejada.

Resposta

Após realizar as iterações necessárias com o método de Newton-Raphson, a solução aproximada do sistema é:
x approx 2,6 e y approx 2,2

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