Utilizando o método de Gauss, encontre o vetor solução dos seguintes sistemas:
l x+3 y-6 z+2 t=3 2 x+y+4 z+8 t=-1 3 x-2 y+2 z-2 t=8 2 x-y+2 z+0 t=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . A matéria que vamos usar aqui é a eliminação de Gauss, que serve pra resolver sistemas desse tipo. Basicamente, a gente vai transformar o sistema em uma forma mais simples, onde é mais fácil encontrar os valores das variáveis. Para isso, vamos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & 3 & -6 & 2 & | & 3 2 & 1 & 4 & 8 & | & -1 3 & -2 & 2 & -2 & | & 8 2 & -1 & 2 & 0 & | & 4
A ideia aqui é usar o primeiro elemento da primeira linha (chamamos de pivô) para eliminar os das outras linhas.

Passo 3

Vamos eliminar o 1 & 3 & -6 & 2 & | & 3 0 & -5 & 16 & 4 & | & -7 0 & -11 & 20 & -8 & | & -1 0 & -7 & 14 & -4 & | & -2 das linhas 2, 3 e 4. Para isso:
  • Linha 2: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 3.
  • Linha 4: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 4.
Fazendo isso:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. O pivô é o -5 da Linha 2. Vamos usar ele para eliminar o 1 & 3 & -6 & 2 & | & 3 0 & -5 & 16 & 4 & | & -7 0 & 0 & 765 & -45 & | & -545 0 & 0 & 1265 & -125 & | & -495 das Linhas 3 e 4.
  • Linha 3: Adicionar vezes a Linha 2 na Linha 3.
  • Linha 4: Adicionar vezes a Linha 2 na Linha 4.
Depois disso, a matriz fica:

Passo 5

Vamos agora para a terceira coluna. O pivô é 1 & 3 & -6 & 2 & | & 3 0 & -5 & 16 & 4 & | & -7 0 & 0 & 765 & -45 & | & -545 0 & 0 & 0 & 0 & | & 3 da Linha 3. Vamos usar ele para eliminar o da Linha 4.
  • Linha 4: Subtrair vezes a Linha 3 da Linha 4.
Simplificando, a matriz fica:

Passo 6

A última linha ficou , o que é impossível, pois . Isso significa que o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema não possui solução.

Exercícios relacionados