Use o método de Newton-Raphson para encontrar o vetor solução do sistema de equações não-lineares formado pelas funções . A solução começa com e . Realize as três primeiras iterações. É possível concluir alguma coisa quanto à convergência com o cálculo destas iterações?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não-lineares usando o método de Newton-Raphson. Esse método é bem útil para encontrar soluções aproximadas de sistemas que não são fáceis de resolver de forma direta. Vamos precisar das funções dadas:
E os valores iniciais são e . Nosso objetivo é realizar três iterações desse método e ver se conseguimos concluir algo sobre a convergência das soluções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como funciona o método de Newton-Raphson para sistemas. Basicamente, ele utiliza uma aproximação linear das funções perto de uma estimativa inicial e atualiza essa estimativa iterativamente. Para isso, vamos precisar calcular a matriz jacobiana do sistema, que contém as derivadas parciais das funções em relação a e .
Vamos calcular as derivadas:
Calculando cada elemento:
Então, a matriz jacobiana fica:

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Para cada iteração, usaremos a fórmula:

[

J^{-1}

]
Onde é a inversa da matriz jacobiana no ponto atual.
Iteração 1:
Valores iniciais: , .
Calculamos :
Calculamos :
A matriz jacobiana em (2, 0,25):
Calculamos a inversa de :
Agora, multiplicamos pelo vetor :
Atualizamos os valores de e :
Iteração 2:
Agora, usamos e .
Calculamos :
Calculamos :
A matriz jacobiana em (1,90625, 0,3125):
Calculamos a inversa de :
Multiplicamos pelo vetor :
Atualizamos os valores de e :
Iteração 3:
Agora, usamos e .
Calculamos :
Calculamos :
A matriz jacobiana em (1,903298, 0,30716):
Calculamos a inversa de :
Multiplicamos pelo vetor :
Atualizamos os valores de e :

Resposta

Após as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson, temos aproximadamente:
Observando as atualizações das iterações, percebemos que os valores de e estão se aproximando de uma solução estável. Isso sugere que o método está convergindo para a solução do sistema de equações fornecido.

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