Use o método de Newton-Raphson para encontrar o vetor solução do sistema de equações não-lineares formado pelas funções f1(x, y)=x^2-2 x-y+0,5=0 e f2(x, y)=x^2+4 y^2-4=0. A solução começa com x1=2 e yi=0,25. Realize as três primeiras iterações. É possível concluir alguma coisa quanto à convergência com o cálculo destas iterações?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não-lineares usando o método de Newton-Raphson. Esse método é bem útil para encontrar soluções aproximadas de sistemas que não são fáceis de resolver de forma direta. Vamos precisar das funções dadas:
f1(x, y) = x^2 - 2x - y + 0,5 = 0
f2(x, y) = x^2 + 4y^2 - 4 = 0
E os valores iniciais são e . Nosso objetivo é realizar três iterações desse método e ver se conseguimos concluir algo sobre a convergência das soluções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como funciona o método de Newton-Raphson para sistemas. Basicamente, ele utiliza uma aproximação linear das funções perto de uma estimativa inicial e atualiza essa estimativa iterativamente. Para isso, vamos precisar calcular a matriz jacobiana do sistema, que contém as derivadas parciais das funções em relação a J = partial f1partial x & partial f1partial y partial f2partial x & partial f2partial y e partial f1partial x = 2x - 2 .
Vamos calcular as derivadas:
partial f1partial y = -1
Calculando cada elemento:
partial f2partial x = 2x
partial f2partial y = 8y
J = 2x - 2 & -1 2x & 8y
Então, a matriz jacobiana fica:

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Para cada iteração, usaremos a fórmula:

[
xk+1 yk+1 = xk yk - J^-1 f1(xk, yk) f2(xk, yk)

f1(2, 0,25) = (2)^2 - 2(2) - 0,25 + 0,5 = 4 - 4 - 0,25 + 0,5 = 0,25

J^{-1}
f2(2, 0,25) = (2)^2 + 4(0,25)^2 - 4 = 4 + 4(0,0625) - 4 = 4 + 0,25 - 4 = 0,25
]
Onde J = 2(2) - 2 & -1 2(2) & 8(0,25) = 2 & -1 4 & 2 é a inversa da matriz jacobiana no ponto atual.
Iteração 1:
Valores iniciais: J^-1 = 1(2)(2) - (-1)(4) 2 & 1 -4 & 2 = 14 + 4 2 & 1 -4 & 2 = 18 2 & 1 -4 & 2 , f1 f2 .
Calculamos 18 2 & 1 -4 & 2 0,25 0,25 = 18 2(0,25) + 1(0,25) -4(0,25) + 2(0,25) = 18 0,5 + 0,25 -1 + 0,5 = 18 0,75 -0,5 = 0,09375 -0,0625 :
x2 = 2 - 0,09375 = 1,90625
Calculamos y2 = 0,25 - (-0,0625) = 0,3125 :
f1 = (1,90625)^2 - 2(1,90625) - 0,3125 + 0,5 approx 3,634 - 3,8125 - 0,3125 + 0,5 approx -0,0
A matriz jacobiana em (2, 0,25):
f2 = (1,90625)^2 + 4(0,3125)^2 - 4 approx 3,634 + 4(0,09765625) - 4 approx 3,634 + 0,390625 - 4 approx 0,024625
Calculamos a inversa de J = 2(1,90625) - 2 & -1 2(1,90625) & 8(0,3125) = 3,8125 - 2 & -1 3,8125 & 2,5 = 1,8125 & -1 3,8125 & 2,5 :
Determinante = (1,8125)(2,5) - (-1)(3,8125) = 4,53125 + 3,8125 = 8,34375
Agora, multiplicamos J^-1 = 18,34375 2,5 & 1 -3,8125 & 1,8125 pelo vetor f1 f2 :
18,34375 2,5 & 1 -3,8125 & 1,8125 0 0,024625 = 18,34375 2,5(0) + 1(0,024625) -3,8125(0) + 1,8125(0,024625) = 18,34375 0,024625 0,04453125 approx 0,002952 0,00534
Atualizamos os valores de x3 = 1,90625 - 0,002952 approx 1,903298 e y3 = 0,3125 - 0,00534 approx 0,30716 :
f1 approx (1,903298)^2 - 2(1,903298) - 0,30716 + 0,5 approx 3,6213 - 3,8066 - 0,30716 + 0,5 approx 0,00754
f2 approx (1,903298)^2 + 4(0,30716)^2 - 4 approx 3,6213 + 4(0,09434) - 4 approx 3,6213 + 0,3774 - 4 approx -0,0013
Iteração 2:
Agora, usamos J = 2(1,903298) - 2 & -1 2(1,903298) & 8(0,30716) approx 3,8066 - 2 & -1 3,8066 & 2,4573 = 1,8066 & -1 3,8066 & 2,4573 e Determinante approx (1,8066)(2,4573) - (-1)(3,8066) approx 4,4343 + 3,8066 = 8,2409 .
Calculamos J^-1 approx 18,2409 2,4573 & 1 -3,8066 & 1,8066 :
f1 f2
Calculamos 18,2409 2,4573 & 1 -3,8066 & 1,8066 0,00754 -0,0013 approx 18,2409 2,4573(0,00754) + 1(-0,0013) -3,8066(0,00754) + 1,8066(-0,0013) :
approx 18,2409 0,01852 - 0,0013 -0,0287 - 0,00235 = 18,2409 0,01722 -0,03105 approx 0,00209 -0,00377
A matriz jacobiana em (1,90625, 0,3125):
x4 approx 1,903298 - 0,00209 approx 1,901208
Calculamos a inversa de y4 approx 0,30716 - (-0,00377) approx 0,31093 :
Multiplicamos pelo vetor :
Atualizamos os valores de e :
Iteração 3:
Agora, usamos e .
Calculamos :
Calculamos :
A matriz jacobiana em (1,903298, 0,30716):
Calculamos a inversa de :
Multiplicamos pelo vetor :
Atualizamos os valores de e :

Resposta

Após as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson, temos aproximadamente:
(x, y) approx (1,901208, 0,31093)
Observando as atualizações das iterações, percebemos que os valores de e estão se aproximando de uma solução estável. Isso sugere que o método está convergindo para a solução do sistema de equações fornecido.

Exercícios relacionados