Use o método de Newton-Raphson para encontrar o vetor solução do sistema de equações não-lineares formado pelas funções
. A solução começa com
e
. Realize as três primeiras iterações. É possível concluir alguma coisa quanto à convergência com o cálculo destas iterações?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não-lineares usando o método de Newton-Raphson. Esse método é bem útil para encontrar soluções aproximadas de sistemas que não são fáceis de resolver de forma direta. Vamos precisar das funções dadas:
E os valores iniciais são
e
. Nosso objetivo é realizar três iterações desse método e ver se conseguimos concluir algo sobre a convergência das soluções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como funciona o método de Newton-Raphson para sistemas. Basicamente, ele utiliza uma aproximação linear das funções perto de uma estimativa inicial e atualiza essa estimativa iterativamente. Para isso, vamos precisar calcular a matriz jacobiana do sistema, que contém as derivadas parciais das funções em relação a
e
.
Vamos calcular as derivadas:
Calculando cada elemento:
Então, a matriz jacobiana fica:
Passo 3
Agora, vamos iniciar as iterações. Para cada iteração, usaremos a fórmula:
[
J^{-1}
]
]
Onde
é a inversa da matriz jacobiana no ponto atual.
Iteração 1:
Valores iniciais:
,
.
Calculamos
:
Calculamos
:
A matriz jacobiana em (2, 0,25):
Calculamos a inversa de
:
Agora, multiplicamos
pelo vetor
:
Atualizamos os valores de
e
:
Iteração 2:
Agora, usamos
e
.
Calculamos
:
Calculamos
:
A matriz jacobiana em (1,90625, 0,3125):
Calculamos a inversa de
:
Multiplicamos
pelo vetor
:
Atualizamos os valores de
e
:
Iteração 3:
Agora, usamos
e
.
Calculamos
:
Calculamos
:
A matriz jacobiana em (1,903298, 0,30716):
Calculamos a inversa de
:
Multiplicamos
pelo vetor
:
Atualizamos os valores de
e
:
Resposta
Após as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson, temos aproximadamente:
Observando as atualizações das iterações, percebemos que os valores de
e
estão se aproximando de uma solução estável. Isso sugere que o método está convergindo para a solução do sistema de equações fornecido.
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e
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