Use regras de inferência para mostrar que, para cada conjunto de premissas dado, a conclusão é válida:
forall x(P(x) vee Q(x)), forall x(neg Q(x) vee S(x)), forall x(R(x) neg S(x)), exists x neg P(x) vdash exists x neg R(x).

Passo 1

Beleza, vamos resumir a questão. Temos um conjunto de premissas envolvendo predicados lógicos e queremos demonstrar que, a partir delas, a conclusão exists x neg R(x) é válida. Para isso, vamos usar regras de inferência da lógica de predicados. Precisamos entender quantificadores como forall (para todo) e exists (existe), além de conectivos lógicos como vee (ou) e (implica).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a premissa exists x neg P(x). Isso significa que existe pelo menos um elemento no domínio onde P(x) é falso. Vamos chamar esse elemento de a. Então, temos neg P(a).

Passo 3

Agora, consideramos a premissa forall x (P(x) vee Q(x)). Como sabemos que neg P(a) é verdadeiro, podemos substituir x por a nessa premissa, obtendo P(a) vee Q(a). Mas já sabemos que P(a) é falso, então, para que P(a) vee Q(a) seja verdadeiro, Q(a) deve ser verdadeiro. Ou seja, Q(a) é verdadeiro.

Passo 4

Seguimos para a premissa forall x (neg Q(x) vee S(x)). Substituindo x por a, temos neg Q(a) vee S(a). Sabemos que Q(a) é verdadeiro, então neg Q(a) é falso. Para que neg Q(a) vee S(a) seja verdadeiro, S(a) deve ser verdadeiro. Portanto, S(a) é verdadeiro.

Passo 5

Agora, olhamos para a premissa forall x (R(x) neg S(x)). Substituindo x por a, obtemos R(a) neg S(a). Já sabemos que S(a) é verdadeiro, então neg S(a) é falso. Para que a implicação R(a) neg S(a) seja verdadeira quando o consequente é falso, o antecedente R(a) deve ser falso. Portanto, neg R(a) é verdadeiro.

Passo 6

Finalmente, como encontramos um elemento a para o qual neg R(a) é verdadeiro, podemos concluir que existe pelo menos um x onde neg R(x) é verdadeiro. Ou seja, exists x neg R(x).

Resposta

Conseguimos mostrar, passo a passo, que a conclusão exists x neg R(x) é válida a partir das premissas dadas.

Exercícios relacionados