Use a teroria de aproximação de zero de funções, vista na disciplina de Cálculo Numérico, para determinar uma estimativa de raiz7 com precisão varepsilon=10^-3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma estimativa para usando a teoria de aproximação de zeros de funções, que é um assunto da disciplina de Cálculo Numérico. Para isso, vamos precisar entender como métodos como o de Newton-Raphson funcionam, já que eles são ótimos para encontrar raízes de funções com precisão específica, nesse caso .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o problema de encontrar f(x) = x^2 - 7 em um problema de encontrar a raiz de uma função. Sabemos que é o número que, quando multiplicado por si mesmo, dá 7. Então, podemos definir a função:
Queremos encontrar tal que .

Passo 3

Vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar essa raiz. Esse método é uma técnica iterativa que aproxima a raiz de uma função usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f'(x) = 2x é a derivada de . Para nossa função , a derivada é:

Passo 4

Agora, precisamos escolher um palpite inicial para começar as iterações. Vamos escolher , que é próximo de , uma estimativa inicial razoável.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 2.5 - (2.5)^2 - 72 times 2.5 = 2.5 - 6.25 - 75 = 2.5 - (-0.755) = 2.5 + 0.15 = 2.65

Passo 6

Agora, verificamos a precisão. Calculamos f(2.65) = (2.65)^2 - 7 = 7.0225 - 7 = 0.0225 :
A diferença ainda é maior que , então precisamos de outra iteração.

Passo 7

Aplicamos novamente a fórmula com x2 = 2.65 - 0.02252 times 2.65 = 2.65 - 0.02255.3 approx 2.65 - 0.00425 = 2.64575 :

Passo 8

Vamos verificar f(2.64575) approx (2.64575)^2 - 7 approx 6.9804 - 7 = -0.0196 :
Ainda não atingimos a precisão desejada, então fazemos mais uma iteração.

Passo 9

Aplicamos a fórmula novamente com x3 = 2.64575 - -0.01962 times 2.64575 approx 2.64575 + 0.00371 = 2.64946 :

Passo 10

Verificamos f(2.64946) approx (2.64946)^2 - 7 approx 7.0223 - 7 = 0.0223 :
Percebemos que estamos oscilando em torno da raiz, mas a diferença está abaixo de .

Resposta

A estimativa de com precisão é aproximadamente 2.645.

Exercícios relacionados