Use a teroria de aproximação de zero de funções, vista na disciplina de Cálculo Numérico, para determinar uma estimativa de precisão .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma estimativa para usando a teoria de aproximação de zeros de funções, que é um assunto da disciplina de Cálculo Numérico. Para isso, vamos precisar entender como métodos como o de Newton-Raphson funcionam, já que eles são ótimos para encontrar raízes de funções com precisão específica, nesse caso .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o problema de encontrar em um problema de encontrar a raiz de uma função. Sabemos que é o número que, quando multiplicado por si mesmo, dá 7. Então, podemos definir a função:
Queremos encontrar tal que .

Passo 3

Vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar essa raiz. Esse método é uma técnica iterativa que aproxima a raiz de uma função usando a fórmula:
Aqui, é a derivada de . Para nossa função , a derivada é:

Passo 4

Agora, precisamos escolher um palpite inicial para começar as iterações. Vamos escolher , que é próximo de , uma estimativa inicial razoável.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 6

Agora, verificamos a precisão. Calculamos :
A diferença ainda é maior que , então precisamos de outra iteração.

Passo 7

Aplicamos novamente a fórmula com :

Passo 8

Vamos verificar :
Ainda não atingimos a precisão desejada, então fazemos mais uma iteração.

Passo 9

Aplicamos a fórmula novamente com :

Passo 10

Verificamos :
Percebemos que estamos oscilando em torno da raiz, mas a diferença está abaixo de .

Resposta

A estimativa de com precisão é aproximadamente 2.645.

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