Use a teroria de aproximação de zero de funções, vista na disciplina de Cálculo Numérico, para determinar uma estimativa de
precisão
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma estimativa para
usando a teoria de aproximação de zeros de funções, que é um assunto da disciplina de Cálculo Numérico. Para isso, vamos precisar entender como métodos como o de Newton-Raphson funcionam, já que eles são ótimos para encontrar raízes de funções com precisão específica, nesse caso
.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o problema de encontrar
em um problema de encontrar a raiz de uma função. Sabemos que
é o número que, quando multiplicado por si mesmo, dá 7. Então, podemos definir a função:
Queremos encontrar
tal que
.
Passo 3
Vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar essa raiz. Esse método é uma técnica iterativa que aproxima a raiz de uma função usando a fórmula:
Aqui,
é a derivada de
. Para nossa função
, a derivada é:
Passo 4
Agora, precisamos escolher um palpite inicial
para começar as iterações. Vamos escolher
, que é próximo de
, uma estimativa inicial razoável.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 6
Agora, verificamos a precisão. Calculamos
:
A diferença
ainda é maior que
, então precisamos de outra iteração.
Passo 7
Aplicamos novamente a fórmula com
:
Passo 8
Vamos verificar
:
Ainda não atingimos a precisão desejada, então fazemos mais uma iteração.
Passo 9
Aplicamos a fórmula novamente com
:
Passo 10
Verificamos
:
Percebemos que estamos oscilando em torno da raiz, mas a diferença está abaixo de
.
Resposta
A estimativa de
com precisão
é aproximadamente 2.645.
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. Pede-se:
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