Utilizando o método da falsa posição, determine a raiz da função f(x)=x^-1-x^2-1, considerando o intervalo [0.5:2]:
i a x b f(x) f(a) f(b)
1
2
3
4
5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a raiz da função usando o método da falsa posição no intervalo . O método da falsa posição é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, semelhante ao método da bisseção, mas geralmente converge mais rápido.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo para garantir que há uma mudança de sinal, o que indica a presença de uma raiz nesse intervalo.
Calculando:
  • Para f(0.5) = 10.5 - (0.5)^2 - 1 = 2 - 0.25 - 1 = 0.75 : f(2) = 12 - (2)^2 - 1 = 0.5 - 4 - 1 = -4.5
  • Para :
Como e , sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do método da falsa posição para encontrar uma nova aproximação da raiz. A fórmula é:
x = b - f(b)(a - b)f(a) - f(b)
Substituindo os valores:
x = 2 - -4.5 times (0.5 - 2)0.75 - (-4.5) = 2 - (-4.5) times (-1.5)5.25 = 2 - 6.755.25 approx 2 - 1.2857 = 0.7143
Então, a nova aproximação é .

Passo 4

Vamos calcular o valor da função nesse novo ponto:
f(0.7143) = 10.7143 - (0.7143)^2 - 1 approx 1.4 - 0.5102 - 1 = -0.1102
Como e , a raiz está agora no intervalo .

Passo 5

Aplicamos novamente a fórmula da falsa posição com os novos valores x = 0.7143 - -0.1102 times (0.5 - 0.7143)0.75 - (-0.1102) = 0.7143 - -0.1102 times (-0.2143)0.8602 approx 0.7143 - 0.023660.8602 approx 0.7143 - 0.0275 = 0.6868 e :
Então, a nova aproximação é .

Passo 6

Calculando f(0.6868) = 10.6868 - (0.6868)^2 - 1 approx 1.455 - 0.4713 - 1 = -0.0163 :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 7

Aplicamos novamente a fórmula:
x = 0.6868 - -0.0163 times (0.5 - 0.6868)0.75 - (-0.0163) approx 0.6868 - -0.0163 times (-0.1868)0.7663 approx 0.6868 - 0.0030460.7663 approx 0.6868 - 0.00397 = 0.6828
Nova aproximação: .

Passo 8

Calculando f(0.6828) = 10.6828 - (0.6828)^2 - 1 approx 1.464 - 0.4662 - 1 = -0.0022 :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 9

Aplicamos novamente a fórmula:
x = 0.6828 - -0.0022 times (0.5 - 0.6828)0.75 - (-0.0022) approx 0.6828 - -0.0022 times (-0.1828)0.7522 approx 0.6828 - 0.0004030.7522 approx 0.6828 - 0.000536 = 0.6823
Nova aproximação: .

Resposta

Após algumas iterações, a raiz aproximada da função no intervalo pelo método da falsa posição é .

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