Verifique que a equação de Van der Waals se reduz à equação dos gases ideais no limite de densidade zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar que a equação de Van der Waals se transforma na equação dos gases ideais quando a densidade do gás é muito baixa, ou seja, tende a zero.
Matéria envolvida: Termodinâmica, especificamente o comportamento dos gases.
O que vamos precisar:
- Conhecer a equação de Van der Waals.
- Saber como simplificar essa equação no limite de baixa densidade.
- Entender a equação dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as duas equações que vamos trabalhar.
Equação de Van der Waals:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a quantidade de substância, -
é a temperatura, -
é a constante dos gases, -
e são constantes características do gás.
Equação dos gases ideais:
Passo 3
Nosso objetivo é mostrar que, quando a densidade é quase zero, a equação de Van der Waals se aproxima da dos gases ideais. A densidade baixa significa que o volume
é muito grande comparado com
, então podemos simplificar alguns termos.
Quando
é muito grande, os termos
e
se tornam pequenos. Vamos analisar isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, olhemos para o termo
. Como
está indo para o infinito (densidade zero), esse termo tende a zero:
Ou seja, a pressão ajustada pela interação entre moléculas se torna insignificante.
Passo 5
Agora, vamos para o termo
. Como
é muito grande,
é pequeno comparado a
, então:
Assim, a diferença de volume ocupada pelas moléculas do gás também se torna desprezível.
Passo 6
Substituindo essas aproximações na equação de Van der Waals:
Simplificando:
E essa é exatamente a equação dos gases ideais!
Resposta
No limite de densidade zero, a equação de Van der Waals se reduz à equação dos gases ideais
.