Verifique que a equação de Van der Waals se reduz à equação dos gases ideais no limite de densidade zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar que a equação de Van der Waals se transforma na equação dos gases ideais quando a densidade do gás é muito baixa, ou seja, tende a zero.
Matéria envolvida: Termodinâmica, especificamente o comportamento dos gases.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a equação de Van der Waals.
  • Saber como simplificar essa equação no limite de baixa densidade.
  • Entender a equação dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as duas equações que vamos trabalhar.
Equação de Van der Waals:
( P + a n^2V^2 ) (V - n b) = n R T
Onde:
  • P V = n R T é a pressão,
  • é o volume,
  • é a quantidade de substância,
  • é a temperatura,
  • é a constante dos gases,
  • e são constantes características do gás.
Equação dos gases ideais:

Passo 3

Nosso objetivo é mostrar que, quando a densidade é quase zero, a equação de Van der Waals se aproxima da dos gases ideais. A densidade baixa significa que o volume é muito grande comparado com , então podemos simplificar alguns termos.
Quando é muito grande, os termos e se tornam pequenos. Vamos analisar isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, olhemos para o termo limV to infty a n^2V^2 = 0 . Como está indo para o infinito (densidade zero), esse termo tende a zero:
Ou seja, a pressão ajustada pela interação entre moléculas se torna insignificante.

Passo 5

Agora, vamos para o termo V - n b approx V . Como é muito grande, é pequeno comparado a , então:
Assim, a diferença de volume ocupada pelas moléculas do gás também se torna desprezível.

Passo 6

Substituindo essas aproximações na equação de Van der Waals:
( P + 0 ) (V) = n R T
Simplificando:
P V = n R T
E essa é exatamente a equação dos gases ideais!

Resposta

No limite de densidade zero, a equação de Van der Waals se reduz à equação dos gases ideais .

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